Tính tích phân $I = {\int }_1^e\frac{{\ln }^{2}x}{x}dx$

Cho tích phân ${\int }_2^3\frac{1}{x^3+x^2}dx = a\ln 3 + b\ln 2 +c$ với $a,b,c \in \mathrm{\mathbb{Q}}$. Tính tổng $S = a+b+c$

Cắt một vật thể (T) bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x=a; x=b. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt (T) theo thiết diện có diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Thể tích V của phần vật thể (T) giới hạn bởi mặt phẳng (P) và (Q) được cho bởi công thức nào dưới đây?

Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành do quay xung quanh trục hoành một elip có phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$. V có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?

Cho tam giác đều ABC có diện tích là $\sqrt{3}$ quay xung quanh cạnh AC của nó. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành.

Cho hàm số f(x) liên tục và a>0. Giả sử với mọi $x\in \left[0;a\right]$ ta có f(x)>0 và f(x).f(a-x) = 1. Tính $I = {\int }_0^a\frac{dx}{1+f\left(x\right)}$

Họ các nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = \frac{2x+3}{x-1}$ là

Tính $\int \left(x^2+\frac{3}{x}-2\sqrt{x}\right)dx$, ta có được kết quả là

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(-x) + 2f(x) = cosx. Tính tích phân $I = {\int }_{\frac{-\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\left(x\right)dx$

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x+1

Tính đạo hàm của hàm số $F\left(x\right) = {\int }_0^x\cos \sqrt{t}dt$

Tính nguyên hàm $I = \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+4}}$ bằng cách đặt $t = \sqrt{x^2+4}$, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hàm số y = f(x) xác định trên R, thỏa mãn f(x)>0 và f'(x) + 2f(x) = 0. Tính f(-1), biết rằng f(1) = 1

Cho hàm số $f\left(x\right) = \left(2x-1\right)\sin \frac{\mathrm{\pi x}}{3}$. Giá trị của $f\text{'}\left(\frac{-1}{2}\right)$ bằng

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong có phương trình $y = \left|x^2-4x+3\right|$ và đường thẳng $y = x+3$ (phần đô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích S của hình phẳng