Câu hỏi:
11/07/2026 37
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = - {x^2} + 2xy - 4{y^2} + 2x + 10y - 3.\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = - {x^2} + 2xy - 4{y^2} + 2x + 10y - 3.\)
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \(A = - {x^2} + 2xy - 4{y^2} + 2x + 10y - 3.\)
Suy ra \( - A = {x^2} - 2xy + 4{y^2} - 2x - 10y + 3\)
\( = {x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + {\left( {y + 1} \right)^2} + 4{y^2} - 10y + 3 - {\left( {y + 1} \right)^2}\)
\( = \left[ {{x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \right] + 3{y^2} - 12y + 2\)
\[ = {\left[ {x - \left( {y + 1} \right)} \right]^2} + 3\left( {{y^2} - 4y + 4} \right) - 10\]
\[ = {\left( {x - y - 1} \right)^2} + 3{\left( {y - 2} \right)^2} - 10\]
Do đó \[A = - {\left( {x - y - 1} \right)^2} - 3{\left( {y - 2} \right)^2} + 10\]
Nhận xét: \[ - {\left( {x - y - 1} \right)^2} \le 0;\,\,\, - 3{\left( {y - 2} \right)^2} \le 0\] với mọi \(x,y\)
Suy ra \[A = - {\left( {x - y - 1} \right)^2} - 3{\left( {y - 2} \right)^2} + 10 \le 10\]
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l} - {\left( {x - y - 1} \right)^2} = 0\\ - 3{\left( {y - 2} \right)^2} = 0\end{array} \right.\], tức là \[\left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right.\], hay \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\]
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) là 10 khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right)\).
Ta có: \(A = - {x^2} + 2xy - 4{y^2} + 2x + 10y - 3.\)
Suy ra \( - A = {x^2} - 2xy + 4{y^2} - 2x - 10y + 3\)
\( = {x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + {\left( {y + 1} \right)^2} + 4{y^2} - 10y + 3 - {\left( {y + 1} \right)^2}\)
\( = \left[ {{x^2} - 2x\left( {y + 1} \right) + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \right] + 3{y^2} - 12y + 2\)
\[ = {\left[ {x - \left( {y + 1} \right)} \right]^2} + 3\left( {{y^2} - 4y + 4} \right) - 10\]
\[ = {\left( {x - y - 1} \right)^2} + 3{\left( {y - 2} \right)^2} - 10\]
Do đó \[A = - {\left( {x - y - 1} \right)^2} - 3{\left( {y - 2} \right)^2} + 10\]
Nhận xét: \[ - {\left( {x - y - 1} \right)^2} \le 0;\,\,\, - 3{\left( {y - 2} \right)^2} \le 0\] với mọi \(x,y\)
Suy ra \[A = - {\left( {x - y - 1} \right)^2} - 3{\left( {y - 2} \right)^2} + 10 \le 10\]
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l} - {\left( {x - y - 1} \right)^2} = 0\\ - 3{\left( {y - 2} \right)^2} = 0\end{array} \right.\], tức là \[\left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right.\], hay \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\]
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) là 10 khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;2} \right)\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Có bao nhiêu nhóm đơn thức đồng dạng với nhau trong các đơn thức sau: \(2xy;\,\,9{y^2};\,\,2y;\,\,5xy;\,\,4x{y^2};\,\,{y^2}?\)
Câu 2:
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) \(5\left( {y - 3} \right) - x\left( {3 - y} \right)\);
b) \({x^6} + {y^9}\);
c) \(x{\left( {x + y} \right)^2} - y{\left( {x + y} \right)^2} + {x^2}y - {x^3}\).
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) \(5\left( {y - 3} \right) - x\left( {3 - y} \right)\);
b) \({x^6} + {y^9}\);
c) \(x{\left( {x + y} \right)^2} - y{\left( {x + y} \right)^2} + {x^2}y - {x^3}\).
Câu 4:
Cho biểu thức \(A = \frac{2}{{{x^2} - 1}}\).
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức \(A\).
b) Tìm giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = - 2.\)
c) Tìm biểu thức \(C\) sao cho \(A + C = B\) biết \(B = \frac{6}{{x - 3}} - \frac{{2{x^2}}}{{1 - {x^2}}}\).
Cho biểu thức \(A = \frac{2}{{{x^2} - 1}}\).
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức \(A\).
b) Tìm giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = - 2.\)
c) Tìm biểu thức \(C\) sao cho \(A + C = B\) biết \(B = \frac{6}{{x - 3}} - \frac{{2{x^2}}}{{1 - {x^2}}}\).
Câu 5:
Giá trị của biểu thức \[A = {x^3} - 5{y^2} + 2{x^3} + 4{y^2} + 10\] tại \(x = - 1;\,\,y = 2\) là
Câu 6:
Câu 7:
Bạn Nam đo một chiếc đèn thả trang trí như hình vẽ bên thì nhận thấy các cạnh đều có cùng độ dài là 20 cm.
a) Tính độ dài trung đoạn của hình chóp.
b) Tính diện tích xung quanh của chiếc đèn.
c) Bạn Nam đọc và thấy rằng khi treo đèn thì khoảng cách từ đáy của đèn cách mặt trền là 1 m là tốt nhất. Vậy bạn Nam cần đưa đoạn dây điện từ đầu đèn (vị trí \(A)\) tới mặt trần là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Bạn Nam đo một chiếc đèn thả trang trí như hình vẽ bên thì nhận thấy các cạnh đều có cùng độ dài là 20 cm.
a) Tính độ dài trung đoạn của hình chóp.
b) Tính diện tích xung quanh của chiếc đèn.
c) Bạn Nam đọc và thấy rằng khi treo đèn thì khoảng cách từ đáy của đèn cách mặt trền là 1 m là tốt nhất. Vậy bạn Nam cần đưa đoạn dây điện từ đầu đèn (vị trí \(A)\) tới mặt trần là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?Câu 10:
Câu 11:
Phân thức \(\frac{{ - x - y}}{3}\) bằng với phân thức nào sau đây?
Câu 12:
Cho tứ giác \(ABCD\) biết \(\widehat {A\,\,} = 75^\circ \), \(\widehat {B\,} = 90^\circ \), \(\widehat {C\,\,} = 120^\circ \). Tính số đo các góc ngoài tại đỉnh \(D\) của tứ giác \(ABCD.\)
Cho tứ giác \(ABCD\) biết \(\widehat {A\,\,} = 75^\circ \), \(\widehat {B\,} = 90^\circ \), \(\widehat {C\,\,} = 120^\circ \). Tính số đo các góc ngoài tại đỉnh \(D\) của tứ giác \(ABCD.\)
