Rút gọn biểu thức $A=\frac{\sqrt[3]{a^5}.a^{{\displaystyle \frac{7}{3}}}}{a^4.\sqrt[7]{a^{-2}}}$ với a>0 ta được kết quả $A=a^{\frac{m}{n}}$ trong đó $m,n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng?

Tìm nghiệm của phương trình ${\log }_{64}\left(x+1\right)=\frac{1}{2}$

Xét các số thực dương x, y thỏa mãn $$\begin{gathered} {\log }_{\sqrt{3}}\frac{x+y}{x^2+y^2+xy+2} \\ =x(x-3)+y(y-3)xy \end{gathered}$$.

Tìm giá trị $P_{max}$ của biểu thức $P=\frac{3x+2y+1}{x+y+6}$.

Tính tích tất cả các nghiệm thưc của phương trình ${\log }_2\left(\frac{2x^2+1}{2x}\right)+2^{\left(x+\frac{1}{2x}\right)}=5$ 

Ba số 1, 2, -a theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Giá trị của a bằng bao nhiêu?

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn ${\log }_3\frac{2x+y+1}{x+y}=x+2y$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\frac{1}{x}+\frac{2}{\sqrt{y}}$

Cho các số thực a, b. Giá trị của biểu thức $A={\log }_2\frac{1}{2^a}+{\log }_2\frac{1}{2^b}$ bằng giá trị của biểu thức nào trong các biểu thức sau đây?

Có tất cả bao nhiêu bộ số nguyên dương (k,n) biết n<20 và các số $C_n^{k-1}; C_n^k; C_n^{k+1}$ theo thứ tự đó là số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm của một cấp số cộng.

Xét các số thực dương x, y thỏa mãn ${\log }_{\sqrt{3}}\frac{x+y}{x^2+y^2+xy+2}=x(x-3)+y(y-3)+xy$ 

Tìm giá trị $P_{max}$ của biểu thức $P=\frac{3x+2y+1}{x+y+6}.$

Cường độ của ánh sáng I khi đi qua môi trường khác với không khí , chẳng hạn như sương mù hay nước, ... sẽ giảm dần tùy theo độ dày của môi trường và một hằng số $\mu$ gọi là khả năng hấp thu ánh sáng tùy theo bản chất môi trường mà ánh sáng truyền đi và được tính theo công thức $I=I_0.e^{-\mu x}$ với x là độ dày của môi trường đó và tính bằng mét, $I_0$ là cường độ ánh sáng tại thời điểm trên mặt nước. Biết rằng nước hồ trong suốt có $\mu =1,4$. Hỏi cường độ ánh sáng giảm đi bao nhiêu lần khi truyền trong hồ đó từ độ sâu 3m xuống đến độ sâu 30m ( chọn giá trị gần đúng với đáp số nhất)

Cho cấp số cộng $\left(a_n\right)$, cấp số nhân $\left(b_n\right)$ thỏa mãn $a_2>a_1\ge 0, b_2>b_1\ge 1$ và hàm số và $f\left(x\right)=x^3-3x$ sao cho $f\left(a_2\right)+2=f\left(a_1\right)$ và $f\left({\log }_2{b}_2\right)$+2=$f\left({\log }_2{b}_1\right)$. Tìm số  nguyên dương n(n>1) nhỏ nhất sao cho $b_n>2019a_n$.

Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình ${\log }_{\sqrt{2}}\left(x-1\right)={\log }_2\left(mx-8\right)$ có hai nghiệm thực phân biệt là:

Nghiệm của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}(x-3)\ge 2$ là

Với a là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số thực dương x, y?

Cho một cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có $u_1=5$ và tổng 50 số hạng đầu bằng 5150. Tìm công thức của số hạng tổng quát $u_n$

Tập nghiệm của phương trình $9^{x+1}={27}^{2x+1}$ là