Hàm số $F\left(x\right)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}\sin 4x+C$ là nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên $\mathrm{ℝ}$ thỏa mãn $3f\text{'}\left(x\right).e^{f^3\left(x\right)-x^2-1}-\frac{2x}{f^2\left(x\right)}=0$ và f(0)=1 . Tích phân ${\int }_0^{\sqrt{7}}x.f\left(x\right)dx$ bằng:

Cho ${\int }_2^{5}f\left(x\right)dx=10.$ Kết quả ${\int }_5^2\left[2-4f\left(x\right)dx\right]$ bằng: 

Cho hàm số $y=e^x\left(x^2+mx\right)$. Biết y'(0)=1. Tính y'(1)

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=\frac{1}{4}{x}^2+1$ với ($0\le x\le 2\sqrt{2}$) nửa đường tròn $y=\sqrt{8-x^2}$ và trục hoành, trục tung (phần tô đậm trong hình  vẽ). Diện tích của (H) bằng:

Biết ${\int }_0^1\frac{2x^2+3x+3}{x^2+2x+1}dx=a-\ln b$với a, b là các số nguyên dương. Tính $P=a^2+b^2$.

Cho ${\int }_{}^{}\frac{dx}{\left(x+1\right)\left(x+4\right)}=a\ln 2+b\ln 5+c\ln 7(a,b,c\in \mathrm{\mathbb{Q}})$. Tính giá trị S = a + 4b - c

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2{e}^{x^3+1}$.

Biết kết quả tích phân ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}x\cos 2xdx=a+b\mathrm{\pi }$ với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị H = a + b bằng bao nhiêu?

Tìm nguyên hàm $\int \left(x-1\right)\sin 2xdx.$

Biết $I={\int }_1^2\frac{dx}{\left(x+2\right)\sqrt{x}+x\sqrt{x+2}}=a\sqrt{3}+b\sqrt{2}+c$ với a,b,c là các số hữu tỉ. Giá trị T = a+b+c bằng bao nhiêu?

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] và 2F(a)-1=2F(b). Tính $I={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$.

Nguyên hàm của $f\left(x\right)=\frac{1+\ln x}{x\ln x}$ là

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng d và nửa đường tròn $y=\sqrt{2-x^2}$ biết d đi qua $A\left(-\sqrt{2};0\right)$ và B(1;1) trênnửa đường tròn (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện  tích của   bằng: 

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) và y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính theo công thức là:

$f\left(2\right)=-\frac{1}{5}$Cho hàm số f(x)  thỏa mãn  và $f\text{'}\left(x\right)=x^3{\left[f\left(x\right)\right]}^2$ với mọi $x\in \mathrm{ℝ}$. Giá trị của f(1) bằng: