Câu hỏi:
19/10/2026 4
Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2 (Hình 15). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.
Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2 (Hình 15). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Thể tích cần tìm là:
\(V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} \)\( = \pi \int\limits_1^2 {\left( {1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} \)\( = \pi \left. {\left( {x + 2\ln \left| x \right| - \frac{1}{x}} \right)} \right|_1^2\)
\( = \pi \left[ {2 + 2\ln 2 - \frac{1}{2} - \left( {1 + 2\ln 1 - 1} \right)} \right]\)\[ = \pi \left( {2ln2 + \frac{3}{2}} \right)\].
Thể tích cần tìm là:
\(V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} \)\( = \pi \int\limits_1^2 {\left( {1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} \)\( = \pi \left. {\left( {x + 2\ln \left| x \right| - \frac{1}{x}} \right)} \right|_1^2\)
\( = \pi \left[ {2 + 2\ln 2 - \frac{1}{2} - \left( {1 + 2\ln 1 - 1} \right)} \right]\)\[ = \pi \left( {2ln2 + \frac{3}{2}} \right)\].
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hai hàm số y = 4x – x2 và y = x lần lượt có đồ thị (P) và d như Hình 4.
a) Tính diện tích S1 của hình phẳng giới hạn bởi (P), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2.
b) Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi (P), d và hai đường thẳng x = 0, x = 2.
Cho hai hàm số y = 4x – x2 và y = x lần lượt có đồ thị (P) và d như Hình 4.
a) Tính diện tích S1 của hình phẳng giới hạn bởi (P), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2.
b) Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi (P), d và hai đường thẳng x = 0, x = 2.
Câu 2:
Một bình chứa nước có hình dạng như Hình 11. Biết rằng khi nước trong bình có chiều cao x (dm) (0 ≤ x ≤ 4) thì mặt nước là hình vuông có cạnh (dm). Tính dung tích của bình.
Một bình chứa nước có hình dạng như Hình 11. Biết rằng khi nước trong bình có chiều cao x (dm) (0 ≤ x ≤ 4) thì mặt nước là hình vuông có cạnh (dm). Tính dung tích của bình.
Câu 3:
Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và đường thẳng x = 4 (Hình 12a). Quay hình D xung quanh trục Ox thì được một khối nón, kí hiệu là N (Hình 12b).
a) Cắt khối N bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ 4) thì mặt cắt là hình gì? Tính diện tích S(x) của mặt cắt đó.
b) Sử dụng công thức tính thể tích hình khối, tính thể tích của khối nón N.
Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và đường thẳng x = 4 (Hình 12a). Quay hình D xung quanh trục Ox thì được một khối nón, kí hiệu là N (Hình 12b).
a) Cắt khối N bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ 4) thì mặt cắt là hình gì? Tính diện tích S(x) của mặt cắt đó.
b) Sử dụng công thức tính thể tích hình khối, tính thể tích của khối nón N.
Câu 4:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x3 + 1, y = 2 và hai đường thẳng x = −1, x = 2.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x3 + 1, y = 2 và hai đường thẳng x = −1, x = 2.
Câu 5:
Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (x ≤ 4), trục tung và trục hoành (Hình 18). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.
Câu 6:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang OABC có A(0; 1), B(2; 2) và C(2; 0) (Hình 19). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang OABC quanh trục Ox.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang OABC có A(0; 1), B(2; 2) và C(2; 0) (Hình 19). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang OABC quanh trục Ox.
Câu 7:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = cosx – 2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = π.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = cosx – 2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = π.
Câu 8:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x2 – 2x – 1, y = x – 1 và hai đường thẳng x = 1, x = 4.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x2 – 2x – 1, y = x – 1 và hai đường thẳng x = 1, x = 4.
Câu 9:
Trong không gian, cho hình chóp O.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, OA ^ (ABCD), OA = h. Đặt trục số Ox như Hình 8. Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 < x ≤ h), cắt hình chóp O.ABCD theo mặt cắt là hình vuông A'B'C'D'. Kí hiệu S(x) là diện tích của hình vuông A'B'C'D'.
a) Tính S(x) theo a, h và x.
b) Tính và so sánh với thể tích của khối chóp O.ABCD.
Trong không gian, cho hình chóp O.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, OA ^ (ABCD), OA = h. Đặt trục số Ox như Hình 8. Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 < x ≤ h), cắt hình chóp O.ABCD theo mặt cắt là hình vuông A'B'C'D'. Kí hiệu S(x) là diện tích của hình vuông A'B'C'D'.
a) Tính S(x) theo a, h và x.
b) Tính và so sánh với thể tích của khối chóp O.ABCD.
Câu 10:
Sử dụng tích phân, tính thể tích khối nón có bán kính đáy r và chiều cao h (Hình 16).
Sử dụng tích phân, tính thể tích khối nón có bán kính đáy r và chiều cao h (Hình 16).
Câu 11:
Ta đã biết công thức tính thể tích của khối cầu bán kính R là . Làm thế nào để tìm ra công thức đó?
Ta đã biết công thức tính thể tích của khối cầu bán kính R là . Làm thế nào để tìm ra công thức đó?
Câu 12:
Gọi d là đồ thị của hàm số y = f(x) = 6 – 2x. Kí hiệu S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, trục hoành và trục tung, S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, trục hoành và đường thẳng x = 5 (Hình 1).
a) Tính S1 và so sánh với \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \).
b) Tính S2 và so sánh với \(\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} \).
c) So sánh \(\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) với S1 + S2.
Gọi d là đồ thị của hàm số y = f(x) = 6 – 2x. Kí hiệu S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, trục hoành và trục tung, S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, trục hoành và đường thẳng x = 5 (Hình 1).
a) Tính S1 và so sánh với \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \).
b) Tính S2 và so sánh với \(\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} \).
c) So sánh \(\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) với S1 + S2.
Câu 13:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = 2x – x2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = 2x – x2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3.
Câu 14:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số , y = – x và hai đường thẳng x = 1, x = 4.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số , y = – x và hai đường thẳng x = 1, x = 4.
Câu 15:
Sử dụng tích phân, tính thể tích của hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h (Hình 20).
Sử dụng tích phân, tính thể tích của hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h (Hình 20).
