Giả sử ${\int }_1^2\frac{4\ln x + 1}{x}dx=a{\ln }^{2}2+b\ln 2$, với a, b là các số hữu tỉ. Khi đó tổng 4a+b bằng

Cho tích phân $I = {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}(x-1)\sin 2xdx$ Tìm đẳng thức đúng

Có bao nhiêu số $a\in (0;20\mathrm{\pi })$ sao cho ${\int }_0^a{\sin }^{5}x\sin 2xdx = \frac{2}{7}$

Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đưởng $y = x^2$,y=0; x=0; x=4. Đường thẳng x=a chia hình (H) thành hai phần có diện tích là $S_1$ và $S_2$ như hình vẽ bên. Tìm a để $S_2 = 4S_1$

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và thỏa mãn ${\int }_1^e\frac{f\left(\ln x\right)}{x}dx=e$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Mệnh đề nào dưới đây là sai?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = x^3-x$, y = 0 được xác định bởi công thức.

Cho hàm số $f\left(x\right) = \frac{1}{{\sin }^{2}x}$. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và đồ thị hàm số y = F(x) đi qua $M\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3};0\right)$ thì F(x) là:

Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{x}$ và x=4 quanh trục Ox. Đường thẳng x=a  cắt đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$ tại M    (hình vẽ bên). Gọi $V_1$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết rằng $V =2V_1$. Khi đó

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = x^2$ và y=x là:

Biết $F\left(x\right) = (ax+b)e^x$ là nguyên hàm của hàm số $y = (2x+3)e^x$  Khi đó a+b là

Tìm giá trị của m để hàm số $F\left(x\right) = m^2{x}^3+(3m+2)x^2 -4x+3$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = 3x^2+10x-4$

Biết hàm số $F\left(x\right) = a{x}^3+(a+b)x^2+(2a-b+c)x+1$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = 3x^2+6x+2$. Tổng a+b+c là

Với các số nguyên a,b thỏa mãn ${\int }_1^2(2x+1)\ln x dx = a+\frac{3}{2}+\ln b$ tính tổng a+b

Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho $n\ln n-{\int }_1^n\ln x dx$ có giá trị không vượt quá 2017

Tìm nguyên hàm $I = \int \frac{x\ln (x^2+1)}{x^2+1}dx$