Giả sử hàm số y=f(x) liên tục, nhận giá trị dương trên $\left(0;+\infty \right)$ và thỏa mãn f(1)=1, $f\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)\sqrt{3x+1}$, với mọi x>0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=e^{x^2}(x^3-4x)$. Hàm số $F(x^2+x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số f(x)>0 với $x\in \mathrm{ℝ},f\left(0\right)=1$ và $f\left(x\right)=\sqrt{x+1}.f\text{'}\left(x\right)$ với mọi $x\in \mathrm{ℝ}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho biết hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) và có một nguyên hàm là F(x). Tìm $\int \left[2f\left(x\right)+f\text{'}\left(x\right)+1\right]dx$?

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{5x+4}$ là:

Biết $F\left(x\right)=(a{x}^2+bx+c)e^{-x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=(2x^2-5x+2)e^{-x}$ trên $\mathrm{ℝ}$. Giá trị của biểu thức f(F(0)) bằng

Biết $F\left(x\right)=(a{x}^2+bx+c)e^{-x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=(2x^2-5x+2)e^{-x}$ trên $\mathrm{ℝ}$. Giá trị của biểu thức f(F(0)) bằng:

Cho hai tích phân ${\int }_{-2}^{5}f\left(x\right)dx=8$ và ${\int }_5^{-2}g\left(x\right)dx=3$. Tính I=${\int }_{-2}^5\left[f\left(x\right)-4g\left(x\right)-1\right]dx$?

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=5^{2x}$ ?

Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x=1 và x=4, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ($1\le x\le 4$) thì được thiết diện là một hình lục giác đều có độ dài cạnh là 2x.

Cho hàm số y=f(x), y=g(x) liên tục trên $\left[a;b\right]$  và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}$ thỏa mãn F(5)=2 và F(0)=1. Tính F(2)-F(-1).

Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm O. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bốn hoa, nhóm này định bồn hoa thành bốn phần bởi hai đường parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O (như hình vẽ). Hai đường parabol cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m. Phần diện tích $S_1, S_2$ dùng để trồng hoa, phần diện tích $S_3, S_4$ dùng để trồng cỏ.

Biết kinh phí trồng hoa là 150.000 đồng/ 1$m^2$, kinh phí để trồng cỏ là 100.000 đồng/$m^2$. Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn)

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2x+e^x$ là:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2{e}^{x^3+1}$ là:

Cho f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn $\left[-1;1\right]$ và ${\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)dx=4$. Kết quả $I={\int }_{-1}^1\frac{f\left(x\right)}{1+e^x}dx$  bằng: