Câu hỏi:
11/07/2026 26
Cho \(x,y\) thỏa mãn \({x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0.\) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + y + 2024.\)
Cho \(x,y\) thỏa mãn \({x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0.\) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + y + 2024.\)
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \({x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0\)
\[\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + 6\left( {x + y} \right) + {y^2} + 8 = 0\]
\[{\left( {x + y} \right)^2} + 2 \cdot \left( {x + y} \right) \cdot 3 + 9 - 1 = - {y^2}\]
\[{\left( {x + y + 3} \right)^2} - 1 = - {y^2}\]
\[\left( {x + y + 3 - 1} \right)\left( {x + y + 3 + 1} \right) = - {y^2}\]
\[\left( {x + y + 2} \right)\left( {x + y + 4} \right) = - {y^2}\]
\[\left( {x + y + 2024 - 2022} \right)\left( {x + y + 2024 - 2020} \right) = - {y^2}\]
\[\left( {P - 2022} \right)\left( {P - 2020} \right) = - {y^2}\]
Mà \({y^2} \ge 0\) với mọi \(y\) nên \( - {y^2} \le 0\) với mọi \(y\)
Do đó \[\left( {P - 2022} \right)\left( {P - 2020} \right) \le 0\] \(\left( * \right)\)
Lại có \(\left( {P - 2020} \right) - 2 < P - 2020\) hay \(P - 2022 < P - 2020\)
Suy ra \(\left( * \right)\) xảy ra khi \(P - 2022 \le 0 \le P - 2020\)
Nên \(2020 \le P \le 2022\)
Vậy GTLN của \(P\) bằng 2022 khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2 = 0\\ - {y^2} = 0\end{array} \right.\), tức \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 0\end{array} \right.\);
GTNN của \(P\) bằng 2020 khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 4 = 0\\ - {y^2} = 0\end{array} \right.\), tức \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 0\end{array} \right.\).
Ta có: \({x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0\)
\[\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + 6\left( {x + y} \right) + {y^2} + 8 = 0\]
\[{\left( {x + y} \right)^2} + 2 \cdot \left( {x + y} \right) \cdot 3 + 9 - 1 = - {y^2}\]
\[{\left( {x + y + 3} \right)^2} - 1 = - {y^2}\]
\[\left( {x + y + 3 - 1} \right)\left( {x + y + 3 + 1} \right) = - {y^2}\]
\[\left( {x + y + 2} \right)\left( {x + y + 4} \right) = - {y^2}\]
\[\left( {x + y + 2024 - 2022} \right)\left( {x + y + 2024 - 2020} \right) = - {y^2}\]
\[\left( {P - 2022} \right)\left( {P - 2020} \right) = - {y^2}\]
Mà \({y^2} \ge 0\) với mọi \(y\) nên \( - {y^2} \le 0\) với mọi \(y\)
Do đó \[\left( {P - 2022} \right)\left( {P - 2020} \right) \le 0\] \(\left( * \right)\)
Lại có \(\left( {P - 2020} \right) - 2 < P - 2020\) hay \(P - 2022 < P - 2020\)
Suy ra \(\left( * \right)\) xảy ra khi \(P - 2022 \le 0 \le P - 2020\)
Nên \(2020 \le P \le 2022\)
Vậy GTLN của \(P\) bằng 2022 khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2 = 0\\ - {y^2} = 0\end{array} \right.\), tức \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 0\end{array} \right.\);
GTNN của \(P\) bằng 2020 khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 4 = 0\\ - {y^2} = 0\end{array} \right.\), tức \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 0\end{array} \right.\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một cây cao \[12\,\,{\rm{m}}\] mọc cạnh bờ sông. Trên đỉnh cây có một con chim đang đậu và chuẩn bị sà xuống bắt con cá trên mặt nước (như Hình 1 và được mô phỏng như Hình 2). Hỏi con chim sẽ bay một đoạn ngắn nhất bằng bao nhiêu mét thì bắt được con cá? (Biết con cá cách gốc cây \[5\,\,{\rm{m}}\] và nước cao mấp mé bờ sông).
Câu 3:
Cho tam giác \(ABC\) vuông có cạnh huyền \(AB = \sqrt {117} \;\;{\rm{cm}}\) và cạnh góc vuông \(BC = 6\;\;{\rm{cm}}.\) Gọi \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\). Độ dài \(BK\) là
Câu 7:
Diện tích xung quanh của hình chóp \(S.ABCD\) (hình bên) gồm diện tích những mặt nào?
Câu 8:
Cho \[P = \frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{2x + 1}}{{1 - {x^3}}}\] với \(x \ne 1.\)
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
b) Tính giá trị của biểu thức \(P\) tại \(x = 2.\)
c) Chứng minh \(P > 0\) với \(x > 0\,;\,\,x \ne 1.\)
Cho \[P = \frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{2x + 1}}{{1 - {x^3}}}\] với \(x \ne 1.\)
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
b) Tính giá trị của biểu thức \(P\) tại \(x = 2.\)
c) Chứng minh \(P > 0\) với \(x > 0\,;\,\,x \ne 1.\)
Câu 9:
Phân thức nào sau đây không phải là phân thức đối của phân thức \(\frac{{1 - x}}{x}\)?
Câu 10:
Cho hai biểu thức \(A\) và \(B\) thỏa mãn \(45{x^6}{y^3}:A = 5{x^3}{y^2}\) và \(\left( {B + 7{x^4}{y^2}} \right):A = 3x{y^2} + 2xy.\)
a) Biểu thức \(A\) là đơn thức bậc 3.
b) Với \(x = - 1\,;\,\,y = 2\) thì giá trị của biểu thức \(A\) bằng \( - 18.\)
c) Đa thức \(B\) có hai hạng tử.
d) Tích của hai biểu thức \(A\) và \(B\) là \(36{x^7}{y^5} + 20{x^7}{y^3}.\)
Cho hai biểu thức \(A\) và \(B\) thỏa mãn \(45{x^6}{y^3}:A = 5{x^3}{y^2}\) và \(\left( {B + 7{x^4}{y^2}} \right):A = 3x{y^2} + 2xy.\)
a) Biểu thức \(A\) là đơn thức bậc 3.
b) Với \(x = - 1\,;\,\,y = 2\) thì giá trị của biểu thức \(A\) bằng \( - 18.\)
c) Đa thức \(B\) có hai hạng tử.
d) Tích của hai biểu thức \(A\) và \(B\) là \(36{x^7}{y^5} + 20{x^7}{y^3}.\)
