Cho ${\int }_1^e\left[\frac{1}{x}+\frac{\ln x}{x{(\ln x+2)}^2}\right]dx=a\ln 3+b\ln 2+\frac{c}{3}$với $a,b,c\in Z$. Giá trị của $a^2+b^2+c^2$ bằng

Gọi V là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\frac{1}{x};y=0;x=1;x=a, (a>1)$ Tìm a để V = 2.

Biết  $F\left(x\right)=a\ln |x-1|+b\ln |x-2| (a,b\in Z)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x+1}{(x-1)(x-2)}$. Giá trị của biểu thức b-a bằng

Biết F(x) là nguyên hàm của f(x) trên R thỏa mãn ${\int }_1^{e}F\left(x\right)d\left(\ln x\right)=3$ và $F\left(e\right)=5$ Tích phân ${\int }_1^e\ln x.f\left(x\right)dx$ bằng

Cho ${\int }_0^3\frac{x}{2\sqrt{x+1}+4}dx=\frac{a}{3}+\ln \left(\frac{3^b}{2^c}\right)$ Tính T=a+2b-c 

Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn $f\text{'}\left(x\right)+2xf\left(x\right)=e^{-x^2}, \forall x\in R$ và f(1)=0 Tính giá trị f(2).

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3-1$ và tiếp tuyến của đồ thị này tại điểm (-1;-2). 

Công thức nào dưới đây là công thức tính tích phân từng phần?

Biết ${\int }_1^{\sqrt{2}}2x(x-\sqrt{x^2-1})dx=\frac{a\sqrt{2}+b}{3} (a,b\in Z)$  Tính S=a+b.

Cho hàm f(x) liên tục trên R và ${\int }_0^{1}x.f\left(x\right)dx=5$ Tích phân $-\frac{1}{4}{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}f\left(\cos 2x\right)d\left(\cos 4x\right)$ bằng

Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{{\ln }^{2}x}{x}$ là

Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)={\sin }^{3}x\cos x$ Giá trị của biểu thức $F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)-F\left(0\right)$ bằng

Cho $F\left(x\right)=4^x$ là một nguyên hàm của hàm số $2^x.f\left(x\right)$ Tích phân ${\int }_0^1\frac{f\text{'}\left(x\right)}{{\ln }^{2}2}dx$ bằng 

Cho hàm số f(x) thỏa mãn ${\int }_1^2(2x+3).f\text{'}\left(x\right)dx=15$ và $7.f\left(2\right)-5.f\left(1\right)=8$ Tính I=${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx$.

Để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2+3ax+2a^2,a>0$ và trục hoành có diện tích bằng 36 thì

Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\tan x, x=0, x=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ và trục hoành bằng