Câu hỏi:
17/06/2026 183
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ACE, ABD cắt nhau tại O và cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H. Chứng minh:
BN ⊥ CM;
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ACE, ABD cắt nhau tại O và cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H. Chứng minh:
BN ⊥ CM;
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Do AD, CE là đường cao của ∆ABC nên AD ⊥ AC, CE ⊥ AB.
Do đó ∆ABD vuông tại D và ∆ACE vuông tại E nên \(\widehat {ABD} + \widehat A = \widehat {ACE} + \widehat A = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\).
Mà BN và CM lần lượt là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\) và \(\widehat {ACE}\), suy ra \(\widehat {ABN} = \widehat {DBN} = \widehat {ACM} = \widehat {ECM}\).
Do ∆CEM vuông tại E nên \(\widehat {ECM} + \widehat {EMC} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {ABN} + \widehat {EMC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {MBO} + \widehat {BMO} = 90^\circ \).
Trong tam giác MOB có: \(\widehat {MBO} + \widehat {BMO} + \widehat {BOM} = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat {BOM} = 180^\circ - \left( {\widehat {MBO} + \widehat {BMO}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).
Vậy BN ⊥ CM.
Do AD, CE là đường cao của ∆ABC nên AD ⊥ AC, CE ⊥ AB.
Do đó ∆ABD vuông tại D và ∆ACE vuông tại E nên \(\widehat {ABD} + \widehat A = \widehat {ACE} + \widehat A = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\).
Mà BN và CM lần lượt là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\) và \(\widehat {ACE}\), suy ra \(\widehat {ABN} = \widehat {DBN} = \widehat {ACM} = \widehat {ECM}\).
Do ∆CEM vuông tại E nên \(\widehat {ECM} + \widehat {EMC} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {ABN} + \widehat {EMC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {MBO} + \widehat {BMO} = 90^\circ \).
Trong tam giác MOB có: \(\widehat {MBO} + \widehat {BMO} + \widehat {BOM} = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat {BOM} = 180^\circ - \left( {\widehat {MBO} + \widehat {BMO}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).
Vậy BN ⊥ CM.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình thoi ABCD có góc B tù. Kẻ BE vuông góc AD tại E, BF vuông góc với CD tại F. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của BE, BF với AC. Chứng minh tứ giác BMDN là hình thoi.
Cho hình thoi ABCD có góc B tù. Kẻ BE vuông góc AD tại E, BF vuông góc với CD tại F. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của BE, BF với AC. Chứng minh tứ giác BMDN là hình thoi.
Câu 2:
Cho hình thoi ABCD có AB = 2 cm, \(\widehat A = \frac{1}{2}\widehat B\). Các điểm H, K thay đổi lần lượt trên cạnh AD, CD sao cho \(\widehat {HBK} = 60^\circ \).
Xác định vị trí của các điểm H, K để độ dài HK ngắn nhất. Tính độ dài ngắn nhất đó.
Cho hình thoi ABCD có AB = 2 cm, \(\widehat A = \frac{1}{2}\widehat B\). Các điểm H, K thay đổi lần lượt trên cạnh AD, CD sao cho \(\widehat {HBK} = 60^\circ \).
Xác định vị trí của các điểm H, K để độ dài HK ngắn nhất. Tính độ dài ngắn nhất đó.
Câu 3:
Cho góc xOy khác góc bẹt. Dùng thước hai lề (thước có hai cạnh song song). Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với cạnh Ox của góc xOy, vẽ đường thẳng a theo cạnh kia của thước. Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với cạnh Oy của góc xOy, vẽ đường thẳng b theo cạnh kia của thước. Hai đường thẳng a, b cắt nhau tại điểm M nằm trong góc xOy (Hình 23). Chứng minh tia OM là tia phân giác của góc xOy.
Cho góc xOy khác góc bẹt. Dùng thước hai lề (thước có hai cạnh song song). Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với cạnh Ox của góc xOy, vẽ đường thẳng a theo cạnh kia của thước. Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với cạnh Oy của góc xOy, vẽ đường thẳng b theo cạnh kia của thước. Hai đường thẳng a, b cắt nhau tại điểm M nằm trong góc xOy (Hình 23). Chứng minh tia OM là tia phân giác của góc xOy.
Câu 4:
Cho một hình thoi có độ dài hai đường chéo là \(\frac{{18}}{5}{\rm{\;m}}\) và \(\frac{{27}}{{10}}{\rm{\;m}}\). Tính chu vi và diện tích của hình thoi đó.
Cho một hình thoi có độ dài hai đường chéo là \(\frac{{18}}{5}{\rm{\;m}}\) và \(\frac{{27}}{{10}}{\rm{\;m}}\). Tính chu vi và diện tích của hình thoi đó.
Câu 5:
Cho hình thoi ABCD có AB = 2 cm, \(\widehat A = \frac{1}{2}\widehat B\). Các điểm H, K thay đổi lần lượt trên cạnh AD, CD sao cho \(\widehat {HBK} = 60^\circ \).
Chứng minh DH + DK không đổi.
Cho hình thoi ABCD có AB = 2 cm, \(\widehat A = \frac{1}{2}\widehat B\). Các điểm H, K thay đổi lần lượt trên cạnh AD, CD sao cho \(\widehat {HBK} = 60^\circ \).
Chứng minh DH + DK không đổi.
Câu 6:
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ACE, ABD cắt nhau tại O và cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H. Chứng minh:
Tứ giác MNHK là hình thoi.
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ACE, ABD cắt nhau tại O và cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H. Chứng minh:
Tứ giác MNHK là hình thoi.
