Câu hỏi:
17/06/2026 715
Cho hình thoi ABCD có góc B tù. Kẻ BE vuông góc AD tại E, BF vuông góc với CD tại F. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của BE, BF với AC. Chứng minh tứ giác BMDN là hình thoi.
Cho hình thoi ABCD có góc B tù. Kẻ BE vuông góc AD tại E, BF vuông góc với CD tại F. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của BE, BF với AC. Chứng minh tứ giác BMDN là hình thoi.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Do ABCD là hình thoi nên AC vuông góc với BD tại trung điểm O của BD.
Suy ra AC là đường trung trực của BD. Do đó BM = DM, BN = DN.
Do ABCD là hình thoi nên BA = BC, \(\widehat {BAE} = \widehat {BCF}\).
Xét ∆ABE vuông tại E và ∆BCF vuông tại F có:
BA = BC, \(\widehat {BAE} = \widehat {BCF}\).
Do đó ∆ABE = ∆BCF (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {CBF}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) (do ABCD là hình thoi nên BD là đường phân giác của góc ABC) , suy ra \(\widehat {MBO} = \widehat {NBO}\).
Xét ∆MBO vuông tại O và ∆NBO vuông tại O có:
\(\widehat {MBO} = \widehat {NBO}\), cạnh BO chung
Do đó ∆MBO = ∆NBO (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Suy ra BM = BN (hai cạnh tương ứng)
Mà BM = DM và BN = DN, suy ra BM = DM = BN = DN.
Tứ giác BMDN có BM = DM = BN = DN nên BMDN là hình thoi.
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Do ABCD là hình thoi nên AC vuông góc với BD tại trung điểm O của BD.
Suy ra AC là đường trung trực của BD. Do đó BM = DM, BN = DN.
Do ABCD là hình thoi nên BA = BC, \(\widehat {BAE} = \widehat {BCF}\).
Xét ∆ABE vuông tại E và ∆BCF vuông tại F có:
BA = BC, \(\widehat {BAE} = \widehat {BCF}\).
Do đó ∆ABE = ∆BCF (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {CBF}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) (do ABCD là hình thoi nên BD là đường phân giác của góc ABC) , suy ra \(\widehat {MBO} = \widehat {NBO}\).
Xét ∆MBO vuông tại O và ∆NBO vuông tại O có:
\(\widehat {MBO} = \widehat {NBO}\), cạnh BO chung
Do đó ∆MBO = ∆NBO (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Suy ra BM = BN (hai cạnh tương ứng)
Mà BM = DM và BN = DN, suy ra BM = DM = BN = DN.
Tứ giác BMDN có BM = DM = BN = DN nên BMDN là hình thoi.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình thoi ABCD có AB = 2 cm, \(\widehat A = \frac{1}{2}\widehat B\). Các điểm H, K thay đổi lần lượt trên cạnh AD, CD sao cho \(\widehat {HBK} = 60^\circ \).
Xác định vị trí của các điểm H, K để độ dài HK ngắn nhất. Tính độ dài ngắn nhất đó.
Cho hình thoi ABCD có AB = 2 cm, \(\widehat A = \frac{1}{2}\widehat B\). Các điểm H, K thay đổi lần lượt trên cạnh AD, CD sao cho \(\widehat {HBK} = 60^\circ \).
Xác định vị trí của các điểm H, K để độ dài HK ngắn nhất. Tính độ dài ngắn nhất đó.
Câu 2:
Cho góc xOy khác góc bẹt. Dùng thước hai lề (thước có hai cạnh song song). Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với cạnh Ox của góc xOy, vẽ đường thẳng a theo cạnh kia của thước. Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với cạnh Oy của góc xOy, vẽ đường thẳng b theo cạnh kia của thước. Hai đường thẳng a, b cắt nhau tại điểm M nằm trong góc xOy (Hình 23). Chứng minh tia OM là tia phân giác của góc xOy.
Cho góc xOy khác góc bẹt. Dùng thước hai lề (thước có hai cạnh song song). Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với cạnh Ox của góc xOy, vẽ đường thẳng a theo cạnh kia của thước. Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với cạnh Oy của góc xOy, vẽ đường thẳng b theo cạnh kia của thước. Hai đường thẳng a, b cắt nhau tại điểm M nằm trong góc xOy (Hình 23). Chứng minh tia OM là tia phân giác của góc xOy.
Câu 3:
Cho một hình thoi có độ dài hai đường chéo là \(\frac{{18}}{5}{\rm{\;m}}\) và \(\frac{{27}}{{10}}{\rm{\;m}}\). Tính chu vi và diện tích của hình thoi đó.
Cho một hình thoi có độ dài hai đường chéo là \(\frac{{18}}{5}{\rm{\;m}}\) và \(\frac{{27}}{{10}}{\rm{\;m}}\). Tính chu vi và diện tích của hình thoi đó.
Câu 4:
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ACE, ABD cắt nhau tại O và cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H. Chứng minh:
BN ⊥ CM;
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ACE, ABD cắt nhau tại O và cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H. Chứng minh:
BN ⊥ CM;
Câu 5:
Cho hình thoi ABCD có AB = 2 cm, \(\widehat A = \frac{1}{2}\widehat B\). Các điểm H, K thay đổi lần lượt trên cạnh AD, CD sao cho \(\widehat {HBK} = 60^\circ \).
Chứng minh DH + DK không đổi.
Cho hình thoi ABCD có AB = 2 cm, \(\widehat A = \frac{1}{2}\widehat B\). Các điểm H, K thay đổi lần lượt trên cạnh AD, CD sao cho \(\widehat {HBK} = 60^\circ \).
Chứng minh DH + DK không đổi.
Câu 6:
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ACE, ABD cắt nhau tại O và cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H. Chứng minh:
Tứ giác MNHK là hình thoi.
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ACE, ABD cắt nhau tại O và cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H. Chứng minh:
Tứ giác MNHK là hình thoi.
