Cho ${\int }_{\frac{1}{2}}^1\sqrt{\frac{x}{x^3+1}}dx=\frac{1}{a}\ln (\frac{b}{c}+\sqrt{d})$  với a, b, c, d là các số nguyên dương và $\frac{b}{c}$  tối giản. Giá trị của a+b+c+d  bằng 

Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số  

f(x)=$\frac{1}{x^9+3x^5}$

Cho ${\int }_1^3\left(f\right(x)+3g(x\left)\right)dx=10,{\int }_1^3\left(2f\right(x)-g(x)dx=6$   Giá trị của ${\int }_1^3\left(f\right(x)=g(x\left)\right)dx$ bằng

Hai viên đạn cùng rời khỏi nòng súng tại thời điểm t = 0 với những vận tốc khác nhau: viên thứ nhất có vận tốc $v=3t^2(m/s)$ viên thứ 2 có vận tốc

v = 2t + 6(m/s). Hỏi bắt đầu từ giây thứ mấy trở đi thì viên đạn thứ nhất xa điểm xuất phát hơn viên đạn thứ 2 ?

Trên khoảng $(0;\frac{\pi }{2})$  họ nguyên hàm của hàm số

f(x)=$\frac{1}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}$ là

Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=$x(e^{3x}-1)$ là

Cho $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$ và $g\left(x\right)=f(dx+e)$ với $a,b,c,d,e \in \mathrm{ℝ}$   có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y=f(x)  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường congy=f(x) và y=g(x) gần nhất với kết quả nào dưới đây?

Cho số thực a và hàm số      . Tích phân ${\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)dx$  bằng

Cho ${\int }_3^8\frac{1}{x+x\sqrt{x+1}}dx=\frac{1}{2}\ln \frac{a}{b}+\frac{c}{d}$  với a, b, c, d là các số nguyên dương và $\frac{a}{b},\frac{c}{d}$   tối giản. Giá trị của $abc-d$ bằng

Biết  ${\int }_0^2(2x+e^x)e^{x}dx=a{e}^4+b{e}^2+c$ với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của 232 a + b + c bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên R đồng thời thỏa mãn điều kiện f(-x)+2f(x)=cosx. Tính tích phân ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{z}}f\left(x\right)dx$ 

Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R. Gọi g(x) là một nguyên hàm của y=$\frac{x}{x+f^2\left(x\right)}$ hàm số  Biết rằng ${\int }_1^{2}g\left(x\right)dx=1$ và 2g(2)-g(1)=2 Tích phân

${\int }_1^2\frac{x^2}{x+f^2\left(x\right)}dx$ bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn ${\int }_{-2}^{2}f(\sqrt{x^2+5}-x)dx=1,{\int }_1^5\frac{f\left(x\right)}{x^2}dx=3$  Tích phân

${\int }_1^{5}f\left(x\right)dx$  bằng

Cho ${\int }_{-1}^{2}f\left(x\right)dx=2 và {\int }_{-1}^{2}g\left(x\right)dx=-1$ và  Tính 

$I={\int }_{-1}^2(x+2f(x)-3g(x\left)\right)dx$ 

Cho biết  F(x)= $\frac{1}{3}{x}^3+2x-\frac{1}{x}$là một nguyên hàm của  f(x)=$\frac{{(x}^{}}{}$²+a)2x2. Tìm nguyên hàm của g(x)=xcosax

Có bao nhiêu số thực a∈(0;2π] sao cho  ${\int }_0^1{\cos }^2\left(ax\right)dx=\frac{1}{2}+\frac{1}{4a}$