(3,0 điểm)

1) Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC,\) có cạnh đáy \(AB = 5{\rm{\;cm}}\) và độ dài trung đoạn \(SI = 6{\rm{\;cm}}\) (hình vẽ bên). Tính: a) Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp \(S.ABC.\) b) Thể tích của hình chóp \(S.ABC,\) biết chiều cao \(SO\) của hình chóp là \(5,8{\rm{\;cm}}.\)

(Làm tròn các kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

2) Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(BC = 2AB,\) \(\widehat {A\,\,} = 60^\circ .\) Gọi \(E\), \(F\) theo thứ tự là trung điểm của \(BC,\) \(AD.\) Trên tia \(AB\) lấy điểm \(I\) sao cho \(B\) là trung điểm của \(AI.\)

a) Tứ giác \(ABEF\) là hình gì? Vì sao?

b) Tính \(\widehat {AED}.\)

Hướng dẫn giải

1)

a) Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:

\({S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot \left( {AB + BC + CA} \right) \cdot SI = \frac{1}{2} \cdot \left( {5 + 5 + 5} \right) \cdot 6 = 45{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right){\rm{.}}\)

Tam giác \(ABC\) là tam giác đều nên đường trung tuyến \(CI\) đồng thời là đường cao.

Xét \(\Delta ACI\) vuông tại \(I\) có \(A{C^2} = A{I^2} + C{I^2}\)

Suy ra \(C{I^2} = A{C^2} - A{I^2} = {5^2} - {\left( {\frac{1}{2} \cdot 5} \right)^2} = 25 - \frac{{25}}{4} = \frac{{75}}{4}\)

Do đó \(CI = \sqrt {\frac{{75}}{4}} \approx 4,33{\rm{\;cm}}.\)

Diện tích đáy của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:

$S_{đáy}=\frac{1}{2}\cdot CI\cdot AB\approx \frac{1}{2}\cdot 4,33\cdot 5\approx 10,83\left({\text{cm}}^2\right)\text{.}$

Diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:

$S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}\approx 45+10,83=55,83\left({\text{cm}}^2\right)\text{.}$

b) Thể tích của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:

$V=\frac{1}{3}\cdot SO\cdot S_{đáy}\approx \frac{1}{3}\cdot 5,8\cdot 10,83\approx 20,94\left({\text{cm}}^3\right).$

2)

a) Do tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AD = BC,\,\,AD\,{\rm{//}}\,BC\).

Vì \(AD = BC,\) \(BE = \frac{1}{2}BC\) và \(AF = \frac{1}{2}AD\) (do \(F\) là trung điểm của \(AD)\) nên \(BE = AF.\)

Tứ giác \(ABEF\) có \(BE = AF\) và \(BE\,{\rm{//}}\,AF\) (vì \(AD\,{\rm{//}}\,BC)\)

Suy ra, tứ giác \(ABEF\) là hình bình hành.

Do \(E\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BE = \frac{1}{2}BC\) hay \(BC = 2BE.\)

Vì \(BC = 2AB\) và \(BC = 2BE\) nên \(AB = BE\).

Hình bình hành \(ABEF\) có \(AB = BE\) nên \(ABEF\) là hình thoi.

b) Vì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB = CD,\,\,AB\,{\rm{//}}\,CD\).

Vì \(AB = CD\) và \(AB = BI\) (do \(B\) là trung điểm của \(AI)\) nên \(BI = CD\).

Tứ giác \(BICD\) có \(BI\,{\rm{//}}\,CD\) (vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD)\) và \(BI = CD\) nên tứ giác \(BICD\) là hình bình hành.

Ta thấy \(BD\) vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác của tam giác \(ADI\) nên tam giác \(ADI\) cân tại \(D\).

Suy ra \(BD\) cũng là đường cao của tam giác \(ADI\) nên \(BD \bot BI\) hay \(\widehat {DBI} = 90^\circ .\)

Hình bình hành \(BICD\) có \(\widehat {DBI} = 90^\circ \) nên tứ giác \(BICD\) là hình chữ nhật.

Khi đó, \(E\) là trung điểm của hai đường chéo \(BC\) và \(DI\).

Tam giác \(ADI\) cân tại \(D\) có \(\widehat {DAI} = 60^\circ \) nên tam giác \(ADI\) là tam giác đều.

\(\Delta ADI\) là tam giác đều có \(AE\) là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

Do đó, \(AE \bot DI\) hay \(\widehat {AED} = 90^\circ \).