Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và $f\left(0\right)+f\left(1\right)=0$. Biết $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx=\frac{1}{2},\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\text{'}\left(x\right)\cos \pi xdx=\frac{\pi }{2}$. Tính $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx$

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm. Người thết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng

Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn $f\left(x\right)>0, \forall x\in R$. Biết f(0)=1 và $\frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}=2-2x$. Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x)=m có hai nghiệm thực phân biệt

Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh (1;1) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát.

Một ô tô chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v(t)=7t (m/s). Đi được 5s người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a=-35(m/s^2)$. Tính quãng đường của ô tô đi được lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn?

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [1;2] thỏa mãn f(1)=4 và $f\left(x\right)=xf\text{'}\left(x\right)-2x^3-3x^2$. Tính giá trị f(2)

Ông A có mảnh đất hình chữ nhật ABCD có $AB=2\pi \left(m\right),AD=5\left(m\right)$. Ông muốn trồng hoa trên giải đất có giới hạn bởi hai đường trung bình MN và đường hình sin (như hình vẽ). Biết kinh phí trồng hoa là $100.000đồng/m^2$. Hỏi ông A cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên giải đất đó?

Cho hàm số $f\left(x\right)\ne 0;f\text{'}\left(x\right)=(2x+1).f^2\left(x\right)$ và f(1)=-0,5. Tính tổng $f\left(1\right)+f\left(2\right)+f\left(3\right)+...+f\left(2017\right)=\frac{a}{b}$; $\left(a\in Z;b\in N\right)$ với $\frac{a}{b}$ tối giản. Chọn khẳng định đúng:

Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol $\left(P\right) :y=x^2$ và hai đường thẳng y=a, y=b (0<a<b) (hình vẽ). Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng y = a (phần tô đen); $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P), đường thẳng y = a và đường thẳng y = b (phần gạch chéo). Với điều  kiện nào sau đây của a và b thì $S_1 = S_2$:

Cho hàm số f (x) liên tục, không âm trên đoạn $\left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$, thỏa mãn $f\left(0\right)=\sqrt{3}$ và $f\left(x\right).f\text{'}\left(x\right)=\cos x\sqrt{1+f^2\left(x\right)}, \forall x\in \left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f (x) trên đoạn $\left[\frac{\mathrm{\pi }}{6};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $5x^2+12x+16=m\left(x+2\right)\sqrt{x^2+2}$ có hai nghiệm thực phân biệt thỏa mãn điều kiện ${2017}^{2x+\sqrt{x+1}}-{2017}^{2+\sqrt{x+1}}+2018x\le 2018$

Cho hàm số f (x) thỏa mãn ${\left(f\text{'}\left(x\right)\right)}^2+f\left(x\right).f\text{'}\text{'}\left(x\right)=15x^4+12x,\forall x\in R$ và $f\left(0\right)=f\text{'}\left(0\right)=1$. Giá trị của $f^2\left(1\right)$ bằng

Sân trường THPT chuyên Hà Giang có một bồn hoa hình tròn có tâm O. Nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường Parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O. Hai đường Parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m (như hình vẽ). Phần diện tích $S_1, S_3$ dùng để trồng hoa, phần diện tích $S_2, S_4$ dùng để trồng cỏ (Diện tích được làm tròn đến hàng phần trăm). Biết kinh phí trồng hoa là $150.000đồng/m^2$, kinh phí trồng cỏ là $100.000đồng/m^2$. Hỏi cả trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn)

Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m, chiều rộng chân đế 12m. Người ta căng sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số $\frac{AB}{CD}$ bằng

Biết rằng $I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{{\ln }^{2}x+\ln x}{{\left(\ln x+x+1\right)}^3}dx=\frac{a{e}^2+be-12}{8{\left(e+2\right)}^2}$ với a, b là các số nguyên dương. Hiệu b – a bằng

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R, f(0)=0 và $f\left(x\right)+f\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x\cos x$ với mọi $x\in R$. Giá trị của tích phân $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}xf\text{'}\left(x\right)dx$ bằng: