Cho hàm số y = f (x) nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn [0;1]. Đặt. Biết $g\left(x\right)=1+2{\int }_0^{x}f\left(t\right)dt$ với mọi $g\left(x\right)\ge {\left[f\left(x\right)\right]}^3$. Tích phân ${\int }_0^1\sqrt[3]{{\left[g\left(x\right)\right]}^2}dx$ có giá trị lớn nhất bằng:

Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất lên đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. vậy số tiền bác Năm phải trả là:

Cho tích phân $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}\frac{\tan \left(x-{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{4}}\right)dx}{\cos 2x}$. Giá trị của biểu thức $T=2I+\sqrt{3}$ là:

Cho tích phân $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\left(ax+b\sqrt{3x^2+1}\right)dx=3$, biết $3b-2a=5$. Tính $M=a^2-b^2$

Cho tích phân $I={\int }_0^1\left|\frac{x^2}{2}-x+1-e^{-x}\right|dx=a.e^{-1}+b$ với a, b là các số hữu tỉ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y=e^{x-1}$, các trục tọa độ và phần đường thẳng y = 2 – x với $x\ge 1$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=sin2x thỏa mãn $F\left(0\right)=\frac{3}{2}$. Tính $F\left(\frac{\pi }{2}\right)?$

Xét hàm số y= f(x) liên tục trên miền D=[a;b] có đồ thị là một đường cong C. Gọi S là phần giới hạn bởi C và các đường thẳng x = a, x = b. Người ta chứng minh được rằng độ dài đường cong S bằng ${\int }_a^b\sqrt{1+{\left(f\text{'}\left(x\right)\right)}^2}dx$. Theo kết quả trên, độ dài đường cong S là phần đồ thị của hàm số f(x)=lnx bị giới hạn bởi các đường thẳng $x=1; x=\sqrt{3}$ là $m-\sqrt{m}+\ln \frac{1+\sqrt{m}}{\sqrt{n}}$ với m, n thuộc Z thì giá trị của $m^2-mn+n^2$ là bao nhiêu?

Cho tích phân ${\int }_0^{\sqrt{7}}\frac{x^{3}dx}{\sqrt[3]{1+x^2}}=\frac{m}{n}$, với $\frac{m}{n}$ là một phân số tối giản. Tính m – 7n

Cho đồ thị hàm số y = f (x). Diện tích S của hình phẳng (Phần tô đậm trong hình dưới) là

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2x-1}$ và f(1)=1. Tính f(-5)?

Một xe mô tô phân khối lớn sau khi chờ đèn đỏ đã bắt đầu phóng nhanh với vận tốc tăng liên tục được biểu thị bằng đồ thị là đường parabol (hình vẽ). Biết rằng sau 15 giây thì xe đạt đến vận tốc cao nhất 60m/s và bắt đầu giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì quãng đường xe đi được là bao nhiêu?

Giả sử a, b là hai số nguyên thỏa mãn $\underset{1}{\overset{5}{\int }}\frac{dx}{x\sqrt{3x+1}}=a\ln 3+b\ln 5$. Tính giá trị của biểu thức $P=a^2+ab+3b^2$

Cho $2\sqrt{3}m-{\int }_0^1\frac{4x^3}{(x^4+2{)}^2}dx=0$. Khi đó $144m^2-1$ bằng:

Một ô tô đang đứng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc $a\left(t\right)=6-3t(m/s^2)$ trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu chuyển động. Hỏi quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là: