Câu hỏi:
12/07/2024 99
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + a\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 2\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 2\\ - 3x + b\,\,\,khi\,x > 2\end{array} \right.\).
a) Với a = 0, b = 1, xét tính liên tục của hàm số tại x = 2.
b) Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục tại x = 2?
c) Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục trên tập xác định?
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + a\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 2\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 2\\ - 3x + b\,\,\,khi\,x > 2\end{array} \right.\).
a) Với a = 0, b = 1, xét tính liên tục của hàm số tại x = 2.
b) Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục tại x = 2?
c) Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục trên tập xác định?
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Với a = 0, b = 1, hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 2\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 2\\ - 3x + 1\,\,\,khi\,x > 2\end{array} \right.\)
Với x < 2 thì f(x) = 2x là hàm liên tục.
Với x > 2 thì f(x) = – 3x + 1 là hàm liên tục.
Tại x = 2 ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} 2x = 4\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - 3x + 1} \right) = - 5\).
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\). Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\).
Vậy hàm số tiên tục trên ( – ∞; 2) và (2; +∞).
b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {2x + a} \right) = 4 + a\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - 3x + b} \right) = - 6 + b\)
Để hàm số liên tục tại x = 2 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 + a = 4\\ - 6 + b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 10\end{array} \right.\) .
Vậy với a = 0 và b = 10 thì hàm số liên tục tại x = 2.
c) Tập xác định của hàm số là: ℝ.
Để hàm số liên tục trên ℝ thì hàm số liên tục tại x = 2. Vì vậy với a = 0 và b = 10 thỏa mãn điều kiện.
Lời giải
a) Với a = 0, b = 1, hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 2\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 2\\ - 3x + 1\,\,\,khi\,x > 2\end{array} \right.\)
Với x < 2 thì f(x) = 2x là hàm liên tục.
Với x > 2 thì f(x) = – 3x + 1 là hàm liên tục.
Tại x = 2 ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} 2x = 4\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - 3x + 1} \right) = - 5\).
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\). Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\).
Vậy hàm số tiên tục trên ( – ∞; 2) và (2; +∞).
b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {2x + a} \right) = 4 + a\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - 3x + b} \right) = - 6 + b\)
Để hàm số liên tục tại x = 2 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 + a = 4\\ - 6 + b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 10\end{array} \right.\) .
Vậy với a = 0 và b = 10 thì hàm số liên tục tại x = 2.
c) Tập xác định của hàm số là: ℝ.
Để hàm số liên tục trên ℝ thì hàm số liên tục tại x = 2. Vì vậy với a = 0 và b = 10 thỏa mãn điều kiện.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tính các giới hạn sau:
a) \(\lim \frac{{2{n^2} + 6n + 1}}{{8{n^2} + 5}}\);
b) \(\lim \frac{{4{n^2} - 3n + 1}}{{3{n^3} + 6{n^2} - 2}}\);
c) \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} - n + 3} }}{{8n - 5}}\);
d) \(\lim \left( {4 - \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{3^n}}}} \right)\);
e) \(\lim \frac{{{{4.5}^n} + {2^{n + 2}}}}{{{{6.5}^n}}}\);
g) \(\lim \frac{{2 + \frac{4}{{{n^3}}}}}{{{6^n}}}\).
Tính các giới hạn sau:
a) \(\lim \frac{{2{n^2} + 6n + 1}}{{8{n^2} + 5}}\);
b) \(\lim \frac{{4{n^2} - 3n + 1}}{{3{n^3} + 6{n^2} - 2}}\);
c) \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} - n + 3} }}{{8n - 5}}\);
d) \(\lim \left( {4 - \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{3^n}}}} \right)\);
e) \(\lim \frac{{{{4.5}^n} + {2^{n + 2}}}}{{{{6.5}^n}}}\);
g) \(\lim \frac{{2 + \frac{4}{{{n^3}}}}}{{{6^n}}}\).
Câu 2:
Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A1B1C1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A2B2C2 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A2B2C2, ..., Tam giác An+1Bn+1Cn+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác AnBnCn, ... Gọi p1, p2, ..., pn, ... và S1, S2, ..., Sn, ... theo thứ tự là chu vi và diện tích của tam giác A1B1C1, A2B2C2, ..., AnBnCn, ...
a) Tìm giới hạn của dãy số (pn) và (Sn).
b) Tính các tổng p1 + p2 + ... + pn + ... và S1 + S2 + ... + Sn + ... .
Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A1B1C1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A2B2C2 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A2B2C2, ..., Tam giác An+1Bn+1Cn+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác AnBnCn, ... Gọi p1, p2, ..., pn, ... và S1, S2, ..., Sn, ... theo thứ tự là chu vi và diện tích của tam giác A1B1C1, A2B2C2, ..., AnBnCn, ...
a) Tìm giới hạn của dãy số (pn) và (Sn).
b) Tính các tổng p1 + p2 + ... + pn + ... và S1 + S2 + ... + Sn + ... .
Câu 3:
Từ độ cao 55,8 m của tháp nghiêng Pisa nước Ý, người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất (Hình 18). Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại này lên độ cao bằng \(\frac{1}{{10}}\) độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi Sn là tổng quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả vật bạn đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất n lần. Tính limSn.
Câu 4:
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}}\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}}\);
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}}\);
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}}\);
e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}}\);
g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}}\).
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}}\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6x + 8}}{{5x - 2}}\);
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}}\);
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {9{x^2} - x + 1} }}{{3x - 2}}\);
e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}}\);
g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3{x^2} + 4}}{{2x + 4}}\).
Câu 5:
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \left( {4{x^2} - 5x + 6} \right)\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{x - 2}}\);
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x - 2}}{{{x^2} - 16}}\).
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \left( {4{x^2} - 5x + 6} \right)\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{x - 2}}\);
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x - 2}}{{{x^2} - 16}}\).
Câu 6:
Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và d’ lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và từ ảnh A’B’ của nó tới quang tâm O của thấu kính như Hình 19. Công thức thấu kính \(\frac{1}{d} + \frac{1}{{d'}} = \frac{1}{f}\).
a) Tìm biểu thức xác định hàm số d’ = φ(d).
b) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} \varphi \left( d \right),\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ - }} \varphi \left( d \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{d \to f} \varphi \left( d \right)\). Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được.
Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và d’ lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và từ ảnh A’B’ của nó tới quang tâm O của thấu kính như Hình 19. Công thức thấu kính \(\frac{1}{d} + \frac{1}{{d'}} = \frac{1}{f}\).
a) Tìm biểu thức xác định hàm số d’ = φ(d).
b) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} \varphi \left( d \right),\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ - }} \varphi \left( d \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{d \to f} \varphi \left( d \right)\). Giải thích ý nghĩa của các kết quả tìm được.
