Cho hai mặt trụ có cùng bán kính bằng 4 được đặt lồng vào nhau như hình vẽ. Tính thể tích phần chung của chúng biết hai mặt trụ vuông góc và cắt nhau

Viết phương trình mặt cầu (S) biết (S) qua bốn điểm $A(1;2;-4); B(1;-3;1); C(2;2;3) và D(1;0;4).$

Mặt cầu $\left(S\right): x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 1 = 0$ có tọa độ tâm và bán kính R là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${∆}_1:\hspace{0.17em}\frac{x+1}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{2}$ và ${∆}_2:\hspace{0.17em}\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{3}$. Phương trình đường thẳng ∆ song song với $d:\hspace{0.17em}\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=-1+t\\ z=4+t\end{array}\right.$ và cắt hai đường thẳng Δ1; Δ2 là:

Cho hai đường thẳng $d_1: \left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1+t\\ z=3\end{array}\right. và d_2: \left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2\\ z=-2+t\end{array}\right.$. Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có $A(-1;3;2); B(2;0;5); C(0;-2;1).$ Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC là.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d: \frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-3}{3}$. Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{\alpha }_d}$ có tọa độ là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left(\alpha \right): 3x + (m - 1)y + 4z - 2 = 0, \left(\beta \right): nx + (m + 2)y + 2z + 4 = 0.$ Với giá trị thực của m, n bằng bao nhiêu để (α) song song (β)

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng$\left(Q\right): x + 2y - 2z + 1 = 0$và cách (Q) một khoảng bằng 3.

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $M(-1;-2;5)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $\left(Q\right): x + 2y - 3z + 1 = 0 và \left(R\right): 2x - 3y + z + 1 = 0.$

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A(1;0;-2), B(1;1;1), C(0;-1;2).$