(1,5 điểm) Cho biểu thức \(N = \left( {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{x - 1}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x - 1}}{{2 + x}}.\)

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức \(N.\)

b) Rút gọn biểu thức \(N.\)

c) Tính giá trị của biểu thức \(N\) khi \(\left| x \right| = 2.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \({x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).\)

Điều kiện xác định của biểu thức \(N\) là \(x + 1 \ne 0,\) \(x - 1 \ne 0,\) \(2 + x \ne 0\) và \({x^2} - 1 \ne 0\)

Hay \(x \ne  - 1,\) \(x \ne 1\) và \(x \ne  - 2.\)

Vậy biểu thức \(N\) xác định khi \(x \ne  - 1,\) \(x \ne 1\) và \(x \ne  - 2.\)

b) Với \(x \ne  - 1,\) \(x \ne 1\) và \(x \ne  - 2,\) ta có:

\(N = \left( {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{x - 1}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x - 1}}{{2 + x}}\)

\[ = \frac{1}{{x + 1}} \cdot \frac{{x - 1}}{{2 + x}} + \frac{1}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 1}}{{2 + x}} + \frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x - 1}}{{2 + x}}\]

\[ = \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 + x} \right)}} + \frac{1}{{2 + x}} + \frac{{{x^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 + x} \right)}}\]

\[ = \frac{{x - 1 + x + 1 + {x^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 + x} \right)}}\]

\[ = \frac{{{x^2} + 2x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{x}{{x + 1}}.\]

Vậy với \(x \ne  - 1,\) \(x \ne 1\) và \(x \ne  - 2,\) thì \(N = \frac{x}{{x + 1}}.\)

c) Ta có \(\left| x \right| = 2\) suy ra \(x = 2\) (thỏa mãn điều kiện) hoặc \(x =  - 2\) (không thỏa mãn điều kiện).

Thay \(x = 2\) vào biểu thức \(N = \frac{x}{{x + 1}},\) ta được:

\(N = \frac{2}{{2 + 1}} = \frac{2}{3}.\)

Vậy \(N = \frac{2}{3}\) khi \(\left| x \right| = 2.\)