Cho biết  ${\int }_1^{5}f\left(x\right)dx=6, {\int }_1^{5}g\left(x\right)dx=8$. Tính $K={\int }_1^5\left[4f\right(x)-g(x\left)\right]dx$ 

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x^2$ và đường tròn $x^2+y^2=2$ (phần tô đậm trong hình).

Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành.

Biết ${\int }_1^2\frac{\ln x}{x^2}dx=a\ln 2+\frac{b}{c}$ (với a là số hữu tỉ, b, c là các số nguyên dương và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản). Tính giá trị của $S=2a+3b+c$

            Bác Minh có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn là 10m và độ dài trục nhỏ là 8m Giữa vườn là một cái giếng hình tròn có bán kính 0,5m và nhận trục lớn và trục bé của đường Elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Bác Minh muốn trồng hoa hồng đỏ trên phần dải đất còn lại (xung quanh giếng). Biết kinh phí trồng hoa là 120.000 đồng/$m^2$ Hỏi Bác Minh cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên giải đất đó? (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn).

Họ nguyên hàm của hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{x}+\sin 2\mathrm{x}$ là

Biết ${\int }_0^{\ln 2}\frac{1}{e^x+3e^{-x}+4}dx=\frac{1}{c}(\ln a-\ln b+\ln c)$, trong đó a,b,c là các số nguyên dương. Tính $P=2a-b+c$.

Cho hàm số $f\left(x\right)=x.\ln x$. Tính $P=f\left(x\right)-xf\text{'}\left(x\right)+x$

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên R và $f\left(2\right)=16,{\int }_0^{2}f\left(x\right)dx=4$ Tính $I={\int }_0^{4}xf\text{'}\left(\frac{x}{2}\right)dx$ 

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\cos 2x$ là:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng diện tích các hình phẳng (A), (B) lần lượt bằng 15 và 3. Tích phân ${\int }_{\frac{1}{e}}^1\frac{1}{x}.f(3\ln x+2)dx$ bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên R diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ trục hoành và hai đường thẳng x=a;x=b (a<b)  được tính theo công thức

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có $f\left(2\right)=2, f\left(3\right)=5$ hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ liên tục trên [2;3]. Khi đó ${\int }_2^{3}f\text{'}\left(x\right)dx$ bằng:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $R\backslash \{-1;0\}$ thỏa mãn $f\left(1\right)=2\ln 2+1, x(x+1)f\text{'}\left(x\right)+(x+2)f\left(x\right)=x(x+1), \forall x\in R\backslash \{-1;0\}$ Biết $f\left(2\right)=a+b\ln 3$ với a, b là hai số hữu tỉ. Tính $T=a^2-b$ 

Tính diện tích hình phằng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=x^2-x, y=3x$

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R, $f(-1)=-2$ và $f\left(3\right)=2$. Tính I=${\int }_{-1}^{3}f\text{'}\left(x\right)dx$.

Cho hàm số $f\left(x\right)={\int }_1^{\sqrt{x}}(4t^3-8t)dt$. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [1;6]. Tính M-m.