Câu hỏi:
11/07/2026 54
Cho \({a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca.\) Chứng minh rằng: \(a = b = c.\)
Cho \({a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca.\) Chứng minh rằng: \(a = b = c.\)
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\)
Suy ra \(2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 0\)
\({a^2} - 2ab + {b^2} + {b^2} - 2bc + {c^2} + {c^2} - 2ca + {a^2} = 0\)
\({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 0 & (*)\)
Vì \[{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,\,\,{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;\,\,\,{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\,\,\forall a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{R}\] nên từ \((*)\) suy ra
\(a - b = b - c = c - a = 0\) hay \(a = b = c\).
Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\)
Suy ra \(2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 0\)
\({a^2} - 2ab + {b^2} + {b^2} - 2bc + {c^2} + {c^2} - 2ca + {a^2} = 0\)
\({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 0 & (*)\)
Vì \[{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,\,\,{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;\,\,\,{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\,\,\forall a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{R}\] nên từ \((*)\) suy ra
\(a - b = b - c = c - a = 0\) hay \(a = b = c\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Cho hình chóp tứ giác đều \[S.MNPQ\] như hình vẽ bên có chiều cao \[15\,\,{\rm{cm}}\] và thể tích là \[1\,\,280{\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{.}}\]
a) Tính độ dài cạnh đáy của hình chóp.
b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp biết, độ dài trung đoạn của hình chóp là \[17\,\,{\rm{cm}}.\]
![Cho hình chóp tứ giác đều [S.MNPQ] như hình vẽ bên có chiều cao (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/blobid1-1763433178.png)
Cho hình chóp tứ giác đều \[S.MNPQ\] như hình vẽ bên có chiều cao \[15\,\,{\rm{cm}}\] và thể tích là \[1\,\,280{\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{.}}\]
a) Tính độ dài cạnh đáy của hình chóp.
b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp biết, độ dài trung đoạn của hình chóp là \[17\,\,{\rm{cm}}.\]
Câu 3:
Nhà bạn Vân có một đèn trang trí có dạng hình chóp tam giác đều (như hình vẽ). Các cạnh của hình chóp đều bằng nhau và bằng \(20{\rm{ cm}}\). Bạn Vân dự định sẽ dán các mặt bên của đèn bằng những tấm giấy màu.
Tính diện tích giấy màu mà bạn Vân sử dụng (coi như mép dán không đáng kể) (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị với đơn vị \({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\)).
Nhà bạn Vân có một đèn trang trí có dạng hình chóp tam giác đều (như hình vẽ). Các cạnh của hình chóp đều bằng nhau và bằng \(20{\rm{ cm}}\). Bạn Vân dự định sẽ dán các mặt bên của đèn bằng những tấm giấy màu.
Tính diện tích giấy màu mà bạn Vân sử dụng (coi như mép dán không đáng kể) (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị với đơn vị \({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\)).
Câu 4:
Hình chóp tam giác đều và hình chóp tứ giác đều có chung đặc điểm nào sau đây?
Hình chóp tam giác đều và hình chóp tứ giác đều có chung đặc điểm nào sau đây?
Câu 7:
Cho hai đa thức \(A = {x^2} - 4xy - 4\) và \(B = 2{x^2} - 3xy + {y^2} - 4.\)
Đa thức \(M\) và \(P\) thỏa mãn \(B = A + M\,;\, & P = \left( {x - 3} \right)M - y - \left( {x + y} \right)\left( {xy - 3y} \right).\)
a) Hạng tử tự do của đa thức \(A\) là \( - 4\).
b) Với \(x = 1\,;\,\,y = 0\) thì giá trị của biểu thức \(B\) bằng \( - 2.\)
c) \(M = {x^2} + 7xy + {y^2}.\)
d) Giá trị của biểu thức \(P\) không phụ thuộc vào biến \(y\).
Cho hai đa thức \(A = {x^2} - 4xy - 4\) và \(B = 2{x^2} - 3xy + {y^2} - 4.\)
Đa thức \(M\) và \(P\) thỏa mãn \(B = A + M\,;\, & P = \left( {x - 3} \right)M - y - \left( {x + y} \right)\left( {xy - 3y} \right).\)
a) Hạng tử tự do của đa thức \(A\) là \( - 4\).
b) Với \(x = 1\,;\,\,y = 0\) thì giá trị của biểu thức \(B\) bằng \( - 2.\)
c) \(M = {x^2} + 7xy + {y^2}.\)
d) Giá trị của biểu thức \(P\) không phụ thuộc vào biến \(y\).
Câu 10:
Giá trị của biểu thức \[A = {\left( {3x + 1} \right)^2} + {\left( {3x--1} \right)^2}--2\left( {3x--1} \right)\left( {3x + 1} \right)\] bằng bao nhiêu?
Giá trị của biểu thức \[A = {\left( {3x + 1} \right)^2} + {\left( {3x--1} \right)^2}--2\left( {3x--1} \right)\left( {3x + 1} \right)\] bằng bao nhiêu?
Câu 11:
Tìm biểu thức \(M,\,\,N\), biết:
a) \(M - \left( {2{\rm{x}}y - 4{y^2}} \right) = 5{\rm{x}}y + {x^2} - 7{y^2}.\)
b) \(2{x^2}y - {x^3} - x{y^2} + 1 = N - \left( {{x^3} + 2x{y^2} - 2} \right)\).
Tìm biểu thức \(M,\,\,N\), biết:
a) \(M - \left( {2{\rm{x}}y - 4{y^2}} \right) = 5{\rm{x}}y + {x^2} - 7{y^2}.\)
b) \(2{x^2}y - {x^3} - x{y^2} + 1 = N - \left( {{x^3} + 2x{y^2} - 2} \right)\).
Câu 12:
Cho \(\frac{{5x + 2}}{{3x{y^2}}} \cdot \frac{{{x^2}y}}{{10x + 4}} = \frac{{...}}{{6y}}\). Đa thức thích hợp điền vào chỗ trống là
Câu 14:
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh bằng \[3\,\,{\rm{cm}}{\rm{,}}\] chiều cao của hình chóp là \[h = 2\,\,{\rm{cm}}.\] Thể tích của hình chóp đã cho là
Câu 15:
Cho tứ giác \[ABCD\] có \(\widehat A = 50^\circ \,;\,\,\widehat B = 130^\circ \,;\,\,\widehat C = 80^\circ \). Tính số đo của \(\widehat D\) (đơn vị: độ).
![Cho tứ giác \[ABCD\] có \(\widehat A = 50^\circ \,;\,\,\widehat B = 130^\circ \,;\,\,\widehat C = 80^\circ \). Tính số đo của \(\widehat D\) (đơn vị: độ). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/blobid3-1750301801.png)
Cho tứ giác \[ABCD\] có \(\widehat A = 50^\circ \,;\,\,\widehat B = 130^\circ \,;\,\,\widehat C = 80^\circ \). Tính số đo của \(\widehat D\) (đơn vị: độ).
