Câu hỏi:
11/07/2026 22
Cho \(A = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} + \frac{{x - 1}}{{x + 2}} + \frac{{{x^2} + 4x}}{{4 - {x^2}}}\) với \(x \ne \pm 2.\)
a) Rút gọn biểu thức \(A.\)
b) Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 4.\)
c) Tìm giá trị nguyên của \(x\) để \(A\) nhận giá trị nguyên dương.
Cho \(A = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} + \frac{{x - 1}}{{x + 2}} + \frac{{{x^2} + 4x}}{{4 - {x^2}}}\) với \(x \ne \pm 2.\)
a) Rút gọn biểu thức \(A.\)
b) Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 4.\)
c) Tìm giá trị nguyên của \(x\) để \(A\) nhận giá trị nguyên dương.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
\(A = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} + \frac{{x - 1}}{{x + 2}} + \frac{{{x^2} + 4x}}{{4 - {x^2}}}\) với \(x \ne \pm 2.\)
a) Với \(x \ne \pm 2\), ta có:
\(A = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} + \frac{{x - 1}}{{x + 2}} + \frac{{{x^2} + 4x}}{{4 - {x^2}}}\)
\[ = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} + \frac{{x - 1}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2} + 4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{{x^2} + 4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{{x^2} + 3x + 2 + {x^2} - 3x + 2 - {x^2} - 4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}\].
Vậy với \(x \ne \pm 2\) ta có \(A = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}.\)
b) Thay \(x = 4\) (thỏa mãn) vào biểu thức \(A\) ta có: \(A = \frac{{4 - 2}}{{4 + 2}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.\)
c) Với \(x \ne \pm 2\) và \(x \in \mathbb{Z}\) ta có: \(A = \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = \frac{{x + 2 - 4}}{{x + 2}} = 1 - \frac{4}{{x + 2}}\)
Khi đó, để \(A\) nhận giá trị nguyên thì \(x + 2 \in \)Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 4} \right\}\)
Ta có bảng sau:
\(x + 2\)
\( - 1\)
\(1\)
\( - 2\)
\(2\)
\( - 4\)
\(4\)
\(x\)
\((x \ne \pm 2\)
và \(x \in \mathbb{Z})\)
\( - 3\)
(thỏa mãn)
\( - 1\)
(thỏa mãn)
\( - 4\)
(thỏa mãn)
\(0\)
(thỏa mãn)
\( - 6\)
(thỏa mãn)
\(2\)
(không thỏa mãn)
\(A = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}\)
\((A\) nguyên dương)
\(5\)
(thỏa mãn)
\( - 3\)
(không thỏa mãn)
\(3\)
(thỏa mãn)
\( - 1\)
(không thỏa mãn)
\(2\)
(thỏa mãn)
Vậy \(x \in \left\{ { - 3; - 4; - 6} \right\}.\)
\(A = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} + \frac{{x - 1}}{{x + 2}} + \frac{{{x^2} + 4x}}{{4 - {x^2}}}\) với \(x \ne \pm 2.\)
a) Với \(x \ne \pm 2\), ta có:
\(A = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} + \frac{{x - 1}}{{x + 2}} + \frac{{{x^2} + 4x}}{{4 - {x^2}}}\)
\[ = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} + \frac{{x - 1}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2} + 4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{{x^2} + 4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{{x^2} + 3x + 2 + {x^2} - 3x + 2 - {x^2} - 4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]
\[ = \frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}\].
Vậy với \(x \ne \pm 2\) ta có \(A = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}.\)
b) Thay \(x = 4\) (thỏa mãn) vào biểu thức \(A\) ta có: \(A = \frac{{4 - 2}}{{4 + 2}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.\)
c) Với \(x \ne \pm 2\) và \(x \in \mathbb{Z}\) ta có: \(A = \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = \frac{{x + 2 - 4}}{{x + 2}} = 1 - \frac{4}{{x + 2}}\)
Khi đó, để \(A\) nhận giá trị nguyên thì \(x + 2 \in \)Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 4} \right\}\)
Ta có bảng sau:
|
\(x + 2\) |
\( - 1\) |
\(1\) |
\( - 2\) |
\(2\) |
\( - 4\) |
\(4\) |
|
\(x\) \((x \ne \pm 2\) và \(x \in \mathbb{Z})\) |
\( - 3\) (thỏa mãn) |
\( - 1\) (thỏa mãn) |
\( - 4\) (thỏa mãn) |
\(0\) (thỏa mãn) |
\( - 6\) (thỏa mãn) |
\(2\) (không thỏa mãn) |
|
\(A = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}\) \((A\) nguyên dương) |
\(5\) (thỏa mãn) |
\( - 3\) (không thỏa mãn) |
\(3\) (thỏa mãn) |
\( - 1\) (không thỏa mãn) |
\(2\) (thỏa mãn) |
|
Vậy \(x \in \left\{ { - 3; - 4; - 6} \right\}.\)
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một cây cao \[12\,\,{\rm{m}}\] mọc cạnh bờ sông. Trên đỉnh cây có một con chim đang đậu và chuẩn bị sà xuống bắt con cá trên mặt nước (như Hình 1 và được mô phỏng như Hình 2). Hỏi con chim sẽ bay một đoạn ngắn nhất bằng bao nhiêu mét thì bắt được con cá? (Biết con cá cách gốc cây \[5\,\,{\rm{m}}\] và nước cao mấp mé bờ sông).
Câu 5:
Cho tam giác \(ABC\) vuông có cạnh huyền \(AB = \sqrt {117} \;\;{\rm{cm}}\) và cạnh góc vuông \(BC = 6\;\;{\rm{cm}}.\) Gọi \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\). Độ dài \(BK\) là
Câu 7:
Diện tích xung quanh của hình chóp \(S.ABCD\) (hình bên) gồm diện tích những mặt nào?
Câu 8:
Cho \[P = \frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{2x + 1}}{{1 - {x^3}}}\] với \(x \ne 1.\)
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
b) Tính giá trị của biểu thức \(P\) tại \(x = 2.\)
c) Chứng minh \(P > 0\) với \(x > 0\,;\,\,x \ne 1.\)
Cho \[P = \frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{2x + 1}}{{1 - {x^3}}}\] với \(x \ne 1.\)
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
b) Tính giá trị của biểu thức \(P\) tại \(x = 2.\)
c) Chứng minh \(P > 0\) với \(x > 0\,;\,\,x \ne 1.\)
Câu 9:
Phân thức nào sau đây không phải là phân thức đối của phân thức \(\frac{{1 - x}}{x}\)?
Câu 11:
Cho hai biểu thức \(A\) và \(B\) thỏa mãn \(45{x^6}{y^3}:A = 5{x^3}{y^2}\) và \(\left( {B + 7{x^4}{y^2}} \right):A = 3x{y^2} + 2xy.\)
a) Biểu thức \(A\) là đơn thức bậc 3.
b) Với \(x = - 1\,;\,\,y = 2\) thì giá trị của biểu thức \(A\) bằng \( - 18.\)
c) Đa thức \(B\) có hai hạng tử.
d) Tích của hai biểu thức \(A\) và \(B\) là \(36{x^7}{y^5} + 20{x^7}{y^3}.\)
Cho hai biểu thức \(A\) và \(B\) thỏa mãn \(45{x^6}{y^3}:A = 5{x^3}{y^2}\) và \(\left( {B + 7{x^4}{y^2}} \right):A = 3x{y^2} + 2xy.\)
a) Biểu thức \(A\) là đơn thức bậc 3.
b) Với \(x = - 1\,;\,\,y = 2\) thì giá trị của biểu thức \(A\) bằng \( - 18.\)
c) Đa thức \(B\) có hai hạng tử.
d) Tích của hai biểu thức \(A\) và \(B\) là \(36{x^7}{y^5} + 20{x^7}{y^3}.\)
