Biết ${\int }_1^{\sqrt{2}}2x(x-\sqrt{x^2+1})dx = \frac{a\sqrt{2}+b}{3}$ , $a,b\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ Tính S = a + b.

Kí hiệu S(t) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x + 1; y = 0; x = 1; x = t Tìm t để S(t) = 10 

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = \frac{x^3}{x^4+1}$và F(0) = 1. Tính F(1)

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = \frac{{\ln }^{2}x}{x}$

Biết F(x) là nguyên hàm của f(x) trên R thỏa mãn ${\int }_1^{e}F\left(x\right)d\left(\ln x\right) = 3$ và F(e)=5 Tính $I = {\int }_1^e\ln x.f\left(x\right)dx$

Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường $y = 3^x$, y=0, x=0, x=2. Đường thẳng x=t chia H thành hai phần có diện tích $S_1$ và $S_2$ (như hình vẽ). Tìm t để $S_1 = 3S_2$

Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{\cos x}$; y = 0; x = 0; $x = \frac{\mathrm{\pi }}{3}$ Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox là.

Tìm giá trị của a để $I = {\int }_1^a\frac{x^3-2\ln x}{x^2}dx = \frac{1}{2}+\ln 2$

Cho biết ${\int }_1^{5}f\left(x\right)dx = 6$, ${\int }_1^{5}g\left(x\right)dx = 8$ Tính $K = {\int }_1^5\left[4f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx$

Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2+1$; x=-1; x=2 và trục hoành.

Tìm $m\in \left(0;\frac{5}{6}\right)$ sao cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{x^3}{3}+m{x}^2-2x-2m-\frac{1}{3}$; x=0; x=2; y=0 có diện tích bằng 4.

Cho ${\int }_1^2\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^4}dx = \frac{1}{c}\left(a\sqrt{a}-\frac{b\sqrt{b}}{b+c}\right)$ Tính T=a+b+c

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = 4x^3 - 1$

Biết ${\int }_1^e\frac{\sqrt{1+3\ln x}\ln x}{x}dx = \frac{a}{b}$; trong đó a,b là 2 số nguyên dương và a/b là phân số tối giản. Mệnh đề nào dưới đây sai ?

Gọi (D) là hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số $y = \sqrt{4-x^2}$ và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay (D) xung quanh trục Ox.

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = {(\sin x + \cos x)}^2$