(3,0 điểm)

1) Bánh ú lá tro (hay còn gọi là bánh tro) là một trong những loại bánh truyền thống của Việt Nam (Hình a). Biết rằng bánh tro có dạng hình chóp tam giác đều với các kích thước như Hình b.

a) Tính chiều cao của mặt đáy chiếc bánh tro.

b) Hãy tính thể tích của mỗi chiếc bánh tro (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

a) Tính chiều cao của mặt đáy chiếc bánh tro.

b) Hãy tính thể tích của mỗi chiếc bánh tro (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

2) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\)  đường trung tuyến \(AM.\) Gọi \(D\) là trung điểm của \(AB.\) Trên tia đối của tia \(DM\) lấy điểm \(E\) sao cho \(DE = DM.\)

a) Giải thích tại sao tứ giác \(AEBM\) là hình thoi và tứ giác \(ACME\) là hình bình hành.

b) Tam giác vuông \(ABC\) có điều kiện gì thì tứ giác\(AEBM\) là hình vuông?

Hướng dẫn giải

1)

a) Gọi \(H\) là chân đường cao kẻ từ \(A\) đến \(BC.\)

Bánh tro có dạng hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) nên đáy \(ABC\) là tam giác đều.

Suy ra \(AC = BC = AB = 5{\rm{\;cm}}.\)

Khi đó ta cũng có đường cao \(AH\) đồng thời là đường trung tuyến nên

\(HB = HC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2,5{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) (do \(AH \bot BC)\) có:

\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\) (định lí Pythagore)

Do đó \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {5^2} - 2,{5^2} = 25 - 6,25 = 18,75\)

Suy ra \(AH = \sqrt {18,75} = \sqrt {\frac{{75}}{4}} = \sqrt {\frac{{25 \cdot 3}}{4}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} {\rm{ = }}\frac{{5\sqrt 3 }}{2}{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy chiều cao của mặt đáy chiếc bánh tro là \(\frac{{5\sqrt 3 }}{2}{\rm{\;cm}}.\)

b) Diện tích đáy hình chóp tam giác đều là:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{{5\sqrt 3 }}{2} \cdot 5 = \frac{{25\sqrt 3 }}{4}{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Thể tích của hình chóp tam giác đều là:

\(V = \frac{1}{3}{S_{ABC}} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{{25\sqrt 3 }}{4} \cdot 4 = \frac{{25\sqrt 3 }}{3} \approx {\rm{14,4}}\,{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Vậy thể tích của chiếc bánh tro khoảng \[14,4{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3}.\]

2)

a) ⦁ Ta có \(DE = DM\) nên \(D\) là trung điểm của \(EM.\)

Xét tứ giác \(AEBM\) có \(D\) là trung điểm của hai đường chéo \(AB\) và \(EM.\)

Do đó tứ giác \(AEBM\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường trung tuyến \(AM\) ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Vì \(AM\) là đường trung tuyến nên \(M\) là trung điểm của \(BC,\) do đó \(BM = CM = \frac{1}{2}BC.\)

Suy ra \(AM = BM = CM.\)

Hình bình hành \(AEBM\) có hai cạnh kề bằng nhau \(AM = BM\) nên là hình thoi.

⦁ Do \(AEBM\) hình thoi nên \(AE = BM\) và \(AE\,{\rm{//}}\,BM.\)

Do đó \(AE = CM\) và \(AE\,{\rm{//}}\,CM.\)

Tứ giác \(ACME\) có \(AE = CM\) và \(AE\,{\rm{//}}\,CM\) nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Do\(AEBM\) là hình thoi nên để \(AEBM\) là hình vuông thì \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) hay \(AM \bot BC\)

Khi đó \(\Delta ABC\) có đường trung tuyến \(AM\) đồng thời là đường cao nên sẽ là tam giác cân tại \(A.\)

Vậy \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) thì \(AEBM\) là hình vuông.