− Câu thơ thứ ba “Chia ba mỗi quả quýt rồi” tức là mỗi quả quýt chia ba nên có 3y miếng quýt. 

− Câu thơ thứ tư “Còn cam, mỗi quả chia mười vừa xinh” tức là chia mười mỗi quả cam nên có 10x miếng cam. 

− Câu thơ thứ năm “Trăm người, trăm miếng ngon lành” tức là tổng số miếng cam và quýt là 100 miếng nên 10x + 3y = 100. 

Ta có thể viết các phương trình bậc nhất hai ẩn khác nhau. 

Chẳng hạn: 8x + 3y = 11. 

Với x = 1; y = 1 thì 8x + 3y = 8 . 1 + 3 . 1 = 11. 

Ta thấy (1; 1) là một nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 8x + 3y = 11. 

* Thay x = 10; y = 7 vào hệ phương trình đã cho, ta có: 

• x + y = 10 + 7 = 17 nên (10; 7) là nghiệm của phương trình thứ nhất; 

• 10x + 3y = 10 . 10 + 3 . 7 = 100 + 21 = 121 ≠ 100 nên (10; 7) không phải là nghiệm của phương trình thứ hai. 

Do đó (10; 7) không phải là một nghiệm của hệ phương trình đã cho. 

* Thay x = 7; y = 10 vào hệ phương trình đã cho, ta có: 

• x + y = 7 + 10 = 17 nên (7; 10) là nghiệm của phương trình thứ nhất; 

• 10x + 3y = 10 . 7 + 3 . 10 = 70 + 30 = 100 nên (7; 10) là nghiệm của phương trình thứ hai. 

Do đó (7; 10) là nghiệm chung của hai phương trình, nghĩa là (7; 10) là một nghiệm của hệ phương trình đã cho. 

Vậy cặp số (7; 10) là nghiệm của hệ phương trình trên; số cam và số quýt thỏa mãn yêu cầu của bài toán cổ là 7 quả quả cam và 10 quả quýt. 

a) Xét phương trình 2x – 3y = 5. (1) 

Ta viết (1) dưới dạng . Mỗi cặp số với x ∈ ℝ tùy ý, là một nghiệm của phương trình (1). 

Khi đó, ta nói phương trình (1) có nghiệm (tổng quát) là: với x ∈ ℝ tùy ý. 

Mỗi nghiệm này là tọa độ một điểm thuộc đường thẳng .  

Ta xác định được hai điểm tùy ý của đường thẳng , chẳng hạn A(1; –1), B(4; 1). 

Ta biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn như sau: 

a) Phương trình 5x – 8y = 0 có dạng ax + by = c với a = 5 ≠ 0, b = –8 ≠ 0. 

Do đó, phương trình 5x – 8y = 0 là phương trình bậc nhất hai ẩn. 

b) Phương trình 4x + 0y = –2 có dạng ax + by = c với a = 4 ≠ 0. 

Do đó, phương trình 4x + 0y = –2 là phương trình bậc nhất hai ẩn. 

c) Phương trình 0x + 0y = 1 có dạng ax + by = c với a = 0, b = 0. 

Do đó, phương trình 0x + 0y = 1 không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn. 

d) Phương trình 0x – 3y = 9 có dạng ax + by = c với b = –3 ≠ 0. 

Do đó, phương trình 0x – 3y = 9 là phương trình bậc nhất hai ẩn. 

a)  

• Với x = –1, ta có y = 2 . (–1) – 1 = – 2 – 1 = –3; 

• Với x = –0,5, ta có y = 2 . (–0,5) – 1 = – 1 – 1 = –2; 

• Với x = 0, ta có y = 2 . 0 – 1 = 0 – 1 = –1; 

• Với x = 0,5, ta có y = 2 . 0,5 – 1 = 1 – 1 = 0; 

• Với x = 1, ta có y = 2 . 1 – 1 = 2 – 1 = 1; 

• Với x = 2, ta có y = 2 . 2 – 1 = 4 – 1 = 3. 

Vậy ta có bảng sau: 

Vậy 6 nghiệm của phương trình đã cho là (–1; –3), (–0,5; –2), (0; –1), (0,5; 1), (1; 1), (2; 3). 

b) Ta có y = 2x – 1. Với mỗi giá trị x tùy ý cho trước, ta luôn tìm được một giá trị y tương ứng. 

Do đó, phương trình đã cho có vô số nghiệm.  

a) Hệ phương trình đã cho là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vì cả hai phương trình của hệ đã cho đều là phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Thay x = –3; y = 4 vào hệ phương trình đã cho, ta có: 

• 2x = 2 . (−3) = −6 nên (–3; 4) là nghiệm của phương trình thứ nhất; 

• 5x + 4y = 5 . (−3) + 4 . 4 = −15 + 16 = 1 nên (–3; 4) là nghiệm của phương trình thứ hai. 

Do đó (–3; 4) là nghiệm chung của hai phương trình, nghĩa là (–3; 4) là một nghiệm của hệ phương trình đã cho. 

a)  

• Thay x = –2; y = 1 vào phương trình (1), ta có: 

5x + 4y = 5 . (–2) + 4 . 1 = −10 + 4 = −6 ≠ 8 nên (–2; 1) không phải là nghiệm của phương trình (1). 

• Thay x = 0; y = 2 vào phương trình (1), ta có: 

5x + 4y = 5 . 0 + 4 . 2 = 0 + 8 = 8 nên (0; 2) là nghiệm của phương trình (1). 

• Thay x = 1; y = 0 vào phương trình (1), ta có: 

5x + 4y = 5 . 1 + 4 . 0 = 5 + 0 = 5 ≠ 8 nên (1; 0) không phải là nghiệm của phương trình (1). 

• Thay x = 1,5; y = 3 vào phương trình (1), ta có: 

5x + 4y = 5 . 1,5 + 4 . 3 = 7,5 + 12 = 19,5 ≠ 8 nên (1,5; 3) không phải là nghiệm của phương trình (1). 

• Thay x = 4; y = –3 vào phương trình (1), ta có: 

5x + 4y = 5 . 4 + 4 . (–3) = 20 – 12 = 8 nên (4; –3) là nghiệm của phương trình (1). 

Vậy cặp số là nghiệm của phương trình (1) là (0; 2) và (4; –3). 

b) Để cặp số là nghiệm của hệ hai phương trình gồm phương trình (1) và phương trình (2) thì cặp số đó phải là nghiệm của phương trình (1). Khi đó, ta có: 

• Thay x = 0; y = 2 vào phương trình (2), ta có: 

3x + 5y = 3 . 0 + 5 . 2 = 0 + 10 = 10 ≠ –3 nên (0; 2) không phải là nghiệm của phương trình (2). 

• Thay x = 4; y = –3 vào phương trình (2), ta có: 

3x + 5y = 3 . 4 + 5 . (–3) = 12 – 15 = –3 nên (4; –3) là nghiệm của phương trình (2). 

Ta thấy nghiệm chung của phương trình (1) và phương trình (2) là cặp số (4; –3). 

Do đó, cặp số (4; –3) là nghiệm của hệ gồm phương trình (1) và phương trình (2). 

c) Đường thẳng 5x + 4y = 8 đi qua điểm A(0; 2) và B(4; –3). 

Đường thẳng 3x + 5y = –3 đi qua điểm B(4; –3) và C(–1; 0). 

Hai đường thẳng 5x + 4y = 8 và 3x + 5y = –3 cắt nhau tại B(4; –3), tức là (4; –3) là nghiệm của hệ (1) và (2).