Sau bài học này, chúng ta sẽ trả lời được câu hỏi trên như sau:

Tứ giác ABCD được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Ở Hình 20, các đỉnh A, B, C, D của tứ giác ABCD đều thuộc đường tròn (O).

Vẽ đường tròn (O), lấy 4 điểm A, B, C, D (theo thứ tự cùng chiều kim đồng hồ) thuộc đường tròn (O) và nối các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA thì ta được tứ giác ABCD có bốn đỉnh thuộc đường tròn (O) (hình vẽ).

Xét đường tròn (O) có:

⦁  là góc ở tâm chắn cung ADC nên

⦁  là góc nội tiếp chắn cung ADC nên

Vì tam giác ABC đều nên

Vì 4 điểm A, B, M, C cùng nằm trên đường tròn (O) nên tứ giác ABMC là tứ giác nội tiếp đường tròn (O).

Do đó tổng số đo hai góc đối của tứ giác ABMC bằng 180°.

Suy ra

Nên

Vậy

Vì ABCD là hình chữ nhật nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và AC = BD.

Mà O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC, BD.

Suy ra và

Do đó OA = OB = OC = OD = R.

Vậy các điểm A, B, C, D đều thuộc đường tròn (O; R).

Giả sử hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (O) có AB = CD = 6 cm và AD = BC = 8 cm.

Khi đó đường chéo AC là đường kính của đường tròn (O).

Xét ∆ADC vuông tại D, theo định lí Pythagore, ta có:

AC2 = AD2 + DC2 = 82 + 62 = 100.

Suy ra AC = 10 cm.

Do đó bán kính của đường tròn (O) là

Diện tích hình tròn bán kính R = 5 cm là:

S1 = πR2 = π.52 = 25π (cm2).

Diện tích hình chữ nhật ABCD là:

S2 = AD.DC = 8.6 = 48 (cm2).

Diện tích phần được tô màu đỏ là:

S = S1 – S2 = 25π – 48 (cm2) ≈ 30,5 (cm2) với π ≈ 3,14.

Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD tại trung điểm O của mỗi đường và AC = BD.

Do đó

Xét ∆OAB vuông tại O, theo định lí Pythagore, ta có:

AB2 = OA2 + OB2

Suy ra a2 = OA2 + OA2

Hay 2OA2 = a2 nên

Do đó

Giả sử hình vuông ABCD có cạnh bằng a và có đường tròn ngoại tiếp là đường tròn (O).

Khi đó bán kính của đường tròn (O) là

Chu vi của đường tròn (O) là:

Chu vi của hình vuông ABCD là: C2 = 4a.

Tỉ số giữa chu vi của hình vuông ABCD và chu vi của đường tròn (O) ngoại tiếp hình vuông đó là:

Ở Hình 28:

⦁ đường tròn (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD vì đường tròn (O) đi qua các đỉnh A, B, C, D của tứ giác ABCD;

⦁ đường tròn (I) ngoại tiếp tứ giác ABMN vì đường tròn (I) đi qua các đỉnh A, B, M, N của tứ giác ABMN.

Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó và

Ta có:

⦁  hay

⦁  hay

Ta có:

⦁  hay

⦁  hay

Ta có:

⦁  hay

⦁  hay

Xét ∆ABC có (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra

Vì ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) và D là điểm thuộc cung BC không chứa A nên tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp, do đó

Suy ra

Giả sử hình chữ nhật ABCD có AD = BC = 3 dm, AB = CD = 5 dm có đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp.

Do đó tâm O là giao điểm hai đường chéo và đường chéo AC là đường kính của đường tròn (O).

Xét ∆ADC vuông tại D, theo định lí Pythagore, ta có:

AC2 = AD2 + DC2 = 52 + 32 = 34.

Suy ra

Do đó bán kính của đường tròn (O) là

Diện tích hình tròn bán kính  là:

Vậy mặt trên của tấm nệm có độ dài đường kính là dm và diện tích bằng 8,5π dm2.

Vì hình thang ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên các góc đối diện có tổng số đo bằng 180°. Do đó:

Vì ABCD là hình thang có AB // CD nên

Từ (1) và (2) suy ra

Hình thang ABCD có nên là hình thang cân.

Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).

Xét đường tròn (O), hai góc ABD và ACD là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD nên

Xét ∆IAB và ∆IDC có:

(đối đỉnh) và (chứng minh trên).

Do đó ∆IAB ᔕ ∆IDC (g.g).

Suy ra (tỉ số các cạnh tương ứng)

Nên IA . IC = IB . ID.

Xét ∆ABC có hai đường cao AM và CN cắt nhau tại H nên AM ⊥ BC và CN ⊥ AB, do đó

Xét tứ giác HMBN có:

(tổng các góc của một tứ giác)

Suy ra

Hay

Vì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên tổng hai góc đối nhau bằng 180°.

Do đó

Mà (câu a) nên

Lại có (đối đỉnh) nên

Xét ∆AHN vuông tại N có là góc ngoài của tam giác tại đỉnh H nên (tính chất góc ngoài của một tam giác).

Mà (câu b) nên