Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Góc có đỉnh thuộc đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó được gọi là góc nội tiếp.

Hình vẽ góc xOy có đỉnh là tâm O của đường tròn (O) như sau:

a) Số đo góc ở tâm là 60°.

b) Số đo góc ở tâm là 90°.

c) Số đo góc ở tâm là 150°.

d) Số đo góc ở tâm là 180°.

Phần đường tròn được tô màu xanh nằm bên trong góc AOB.

Phần đường tròn được tô màu đỏ nằm bên ngoài góc AOB.

⦁ Do số học sinh chọn môn Bóng bàn chiếm 15% số lượng học sinh nên số đo cung nhỏ BC bằng 15% số đo của cung cả đường tròn. Vì thế,   $sđ\stackrel{⏜}{BC}=360°\cdot \frac{15}{100}=54°.$

Vì số đo của cung nhỏ BC bằng số đo của góc ở tâm BOC chắn cung đó nên $\widehat{BOC}=54°.$

⦁ Do số học sinh chọn môn Bóng đá chiếm 40% số lượng học sinh nên số đo cung nhỏ DA bằng 40% số đo của cung cả đường tròn. Vì thế,   $sđ\stackrel{⏜}{DA}=360°\cdot \frac{40}{100}=144°.$

Vì số đo của cung nhỏ DA bằng số đo của góc ở tâm DOA chắn cung đó nên $\widehat{DOA}=144°.$

⦁ Đỉnh của góc AIB là điểm I, điểm I có thuộc đường tròn.

⦁ Hai cạnh của góc AIB chứa hai dây cung IA, IB của đường tròn.

a) Xét ∆OAI có OA = OI nên ∆OAI cân tại O, suy ra $\widehat{OAI}=\widehat{OIA}.$

Xét ∆OBI có OB = OI nên ∆OBI cân tại O, suy ra $\widehat{OBI}=\widehat{OIB}.$

b) Xét ∆OAI có $\widehat{AOI}+\widehat{OIA}+\widehat{OAI}=180°$   (định lí tổng các góc của một tam giác).

Do đó $\widehat{AOI}+2\widehat{OIA}=180°.$

Xét ∆OBI có $\widehat{BOI}+\widehat{OIB}+\widehat{OBI}=180°$  (định lí tổng các góc của một tam giác).

Do đó $\widehat{BOI}+2\widehat{OIB}=180°.$

c)  $\widehat{AOI}+\widehat{AOK}=180°,\widehat{BOI}+\widehat{BOK}=180°$(các cặp góc kề bù).

d) Ta có $\widehat{AOI}+2\widehat{OIA}=180°$   (theo câu b) và $\widehat{AOI}+\widehat{AOK}=180°$   (theo câu c)

Suy ra $\widehat{AOK}=2\widehat{OIA}.$

Ta có  $\widehat{BOI}+2\widehat{OIB}=180°$(theo câu b) và  $\widehat{BOI}+\widehat{BOK}=180°$(theo câu c)

Suy ra $\widehat{BOK}=2\widehat{OIB}.$

Ta có:  $\widehat{AOK}=2\widehat{OIA}$và $\widehat{BOK}=2\widehat{OIB}$

Suy ra $\widehat{AOK}+\widehat{BOK}=2\widehat{OIA}+2\widehat{OIB}=2\left(\widehat{OIA}+\widehat{OIB}\right)$

Do đó $\widehat{AOB}=2\widehat{AIB}.$

Xét ∆AOB có: OA = OB = AB = R nên ∆AOB là tam giác đều, do đó $\widehat{AOB}=60°.$

Mà $\widehat{AOB}$   là góc ở tâm và $\widehat{ACB}$  là góc nội tiếp cùng chắn cung AB của đường tròn (O). Do đó $\widehat{ACB}=\frac{1}{2}\cdot \widehat{AOB}=\frac{1}{2}\cdot 60°=30°.$

Vậy  $\widehat{ACB}=30°.$

a) Ta có $\widehat{AIB}$   và  $\text{sđ}\stackrel{⏜}{AmB}$lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AmB của đường tròn (O) nên $\widehat{AIB}=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel{⏜}{AmB}.$

b) Ta có  $\widehat{AKB}$và  $\text{sđ}\stackrel{⏜}{AmB}$lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AmB của đường tròn (O) nên $\widehat{AKB}=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel{⏜}{AmB}.$

c) Ta có: $\widehat{AIB}=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel{⏜}{AmB}$  (theo câu a) và $\widehat{AKB}=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel{⏜}{AmB}$   (theo câu b)

Do đó $\widehat{AIB}=\widehat{AKB}.$

Xét đường tròn chứa cung AB ta có: $\widehat{ACB}=\widehat{ADB}.$  là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB nên $\widehat{ACB}=\widehat{ADB}.$

Xét ∆AIC và ∆BID có:

 $\widehat{ACI}=\widehat{BDI}$(do $\widehat{ACB}=\widehat{BDA});$

$\widehat{ACI}=\widehat{BDI}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆AIC ᔕ ∆BID (g.g).

Suy ra  $\frac{IA}{IB}=\frac{IC}{ID}$(tỉ số các cạnh tương ứng) nên IA.ID = IB.IC.

a) 6 góc ở tâm có hai cạnh lần lượt chứa hai điểm trong bốn điểm A, B, C, D là các góc: $\widehat{AOB},\widehat{AOC},\widehat{AOD},\widehat{BOC},\widehat{BOD},\widehat{COD}.$

b) 4 góc nội tiếp có hai cạnh lần lượt chứa ba điểm trong bốn điểm A, B, C, D là các góc:  $\widehat{ABC},\widehat{ADC},\widehat{BAD},\widehat{BCD}.$

a) Xét đường tròn (O: R) có A, B thuộc đường tròn nên OA = OB = R.

Xét ∆AOB vuông tại O, theo định lí Pythagore, ta có:

AB² = OA² + OB² = R² + R² = 2R².

Do đó: $AB=\sqrt{2R^2}=R\sqrt{2}.$

b) Xét đường tròn (O) có $\widehat{AOB}$  là góc ở tâm chắn cung ANB nên  $sđ\stackrel{⏜}{ANB}=\widehat{AOB}=90°.$

Ta có:   $sđ\stackrel{⏜}{AMB}=360°-sđ\stackrel{⏜}{ANB}=360°-90°=270°.$

Vì  $\widehat{ANB}$là góc nội tiếp chắn cung AMB nên $\widehat{ANB}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{AMB}=\frac{1}{2}\cdot 270°=135°.$

Vì  $\widehat{AMB}$là góc nội tiếp chắn cung ANB nên $\widehat{AMB}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{ANB}=\frac{1}{2}\cdot 90°=45°.$

a) Xét ∆OAB có OA = OB = AB nên ∆OAB là tam giác đều, do đó $\widehat{AOB}=60°.$

b) Số đo cung nhỏ AB là: $\text{sđ}\stackrel{⏜}{AB}=\widehat{AOB}=60°.$

Số đo cung lớn AB (cung AIB) là: $\text{sđ}\stackrel{⏜}{AIB}=360°-\text{sđ}\stackrel{⏜}{AB}=60°-60°=300°.$

c) Góc MIN hay chính là góc AIB là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AB nên $\widehat{MIN}=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel{⏜}{AB}=\frac{1}{2}\cdot 60°=30°.$

d) Xét đường tròn (I) có góc MIN là góc ở tâm chắn cung nhỏ MN (cung MON) nên số đo cung nhỏ MN là $\text{sđ}\stackrel{⏜}{MON}=\widehat{MIN}=30°.$

Số đo cung lớn MN (cung MKN) là: $\text{sđ}\stackrel{⏜}{MKN}=360°-\text{sđ}\stackrel{⏜}{MON}=360°-30°=330°.$

e) Xét đường tròn (I) có góc MKN là góc nội tiếp chắn cung nhỏ MN nên $\widehat{MKN}=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel{⏜}{MN}=\frac{1}{2}\cdot 30°=15°.$

Gọi các điểm A, B, C trên đường tròn (O) như hình vẽ.

⦁ Do thành phần việt quất chiếm 60% thành phần nước ép hoa quả nên số đo cung nhỏ AB bằng 60% số đo của cung cả đường tròn. Vì thế,   $sđ\stackrel{⏜}{AB}=360°\cdot \frac{60}{100}=216°.$

⦁ Do thành phần táo chiếm 30% thành phần nước ép hoa quả nên số đo cung nhỏ BC bằng 30% số đo của cung cả đường tròn. Vì thế,   $sđ\stackrel{⏜}{BC}=360°\cdot \frac{30}{100}=108°.$

⦁ Do thành phần mật ong chiếm 10% thành phần nước ép hoa quả nên số đo cung nhỏ AC bằng 10% số đo của cung cả đường tròn. Vì thế,   $sđ\stackrel{⏜}{AC}=360°\cdot \frac{10}{100}=36°.$

Ta có:

⦁ $\widehat{ABC}=90°$  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

⦁ $\widehat{ABD}=90°$  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (I)).

Suy ra $\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=90°+90°=180°$   hay $\widehat{CBD}=180°.$

Do đó ba điểm B, C, D thẳng hàng.

Bước 1. Vẽ đường tròn tâm O, kẻ đường kính BC.

Bước 2. Lấy điểm A thuộc đường tròn (O) (A khác B, C). Ta được tam giác ABC vuông tại A.

Thật vậy, xét đường tròn (O) có đường kính BC, điểm A thuộc (O) nên  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Vậy tam giác ABC vuông tại A.