Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Ta có thể nhận biết vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O; R) thông qua hệ thức giữa khoảng cách d từ tâm O đến đường thẳng a và bán kính R như bảng sau:

a) Đường thẳng a và đường tròn (O; R) có 2 điểm chung.

b) Ta có OH và OM lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ O đến đường thẳng a.

Do đó OH < OM hay OH < d.

Một số hiện tượng trong thực tiễn gợi nên hình ảnh của đường thẳng và đường tròn cắt nhau: biển báo giao thông (chẳng hạn biển cấm đường), đĩa có họa tiết kẻ caro, …

Đường thẳng và đường tròn đó có 1 điểm chung.

Xét ∆ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC²

Suy ra AC² = BC² – AB² = 5² – 3² = 16.

Do đó AC = 4 cm (do AC > 0).

Vì CA ⊥ AB tại A nên khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB bằng CA.

Mà AC = 4 cm nên khoảng cách từ tâm C của đường tròn (C; 4 cm) đến đường thẳng AB bằng bán kính của đường tròn.

Đường thẳng và đường tròn không giao nhau thì chúng không có điểm chung.

a) Đường thẳng a và đường tròn (O; R) không có điểm chung.

b) OH > R.

– Vì 4 > 3 nên khoảng cách từ O đến đường thẳng a lớn hơn bán kính của đường tròn (O; 3 cm). Vậy đường thẳng a và đường tròn (O; 3 cm) không giao nhau.

– Vì khoảng cách từ O đến đường thẳng a bằng bán kính của đường tròn (O; 4 cm). Vậy đường thẳng a và đường tròn (O; 4 cm) tiếp xúc nhau.

– Vì 4 < 5 nên khoảng cách từ O đến đường thẳng a nhỏ hơn bán kính của đường tròn (O; 5 cm). Vậy đường thẳng a và đường tròn (O; 5 cm) cắt nhau.

a) Đường thẳng màu đen cắt đường tròn màu cam.

b) Đường thẳng màu đen tiếp xúc với đường tròn màu xanh mạ non.

c) Đường thẳng màu vàng không giao nhau với đường tròn màu đỏ.

Xét ∆OAH vuông tại H, theo định lý Pythagore ta có:

OA² = OH² + AH²

Suy ra OH² = OA² – AH² = 1,6² – 0,9² = 1,75.

Do đó $OH=\sqrt{1,75}=\sqrt{\frac{7}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}\text{ (m).}$

Khi đó,   $HK=OH+OK=\frac{\sqrt{7}}{2}+1,6\approx 2,9\text{ (m).}$

Vậy chiều cao của cửa là khoảng 2,9 mét.

Vì 3 > 2 nên khoảng cách từ O đến đường thẳng a lớn hơn bán kính của đường tròn (O; 2 m).

Vậy đường thẳng a và đường tròn (O; 2 m) không giao nhau nên hai vật nhỏ không bao giờ gặp nhau.

– Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N nên OM < ON suy ra khoảng cách từ O đến đường thẳng a nhỏ hơn bán kính của đường tròn (O; ON). Vậy đường thẳng a và đường tròn (O; ON) cắt nhau.

– Vì khoảng cách từ O đến đường thẳng b (là ON) bằng bán kính của đường tròn (O; ON). Vậy đường thẳng b và đường tròn (O; ON) tiếp xúc nhau.

– Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N; điểm N nằm giữa hai điểm M và P nên điểm N nằm giữa hai điểm O và P.

Suy ra OP > ON nên khoảng cách từ O đến đường thẳng c lớn hơn bán kính của đường tròn (O; ON). Vậy đường thẳng b và đường tròn (O; ON) không giao nhau.

a)