Hình b) dưới đây là tứ giác ABCD mô phỏng bề mặt một viên gạch:

Dùng thước đo góc ta xác định được: $\widehat{A}=90°,\widehat{B}=90°,\widehat{C}=90°,\widehat{D}=90°$.

Nhận xét: $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}\left(=90°\right)$.

a) Ta có: AB ⊥ AD, CD ⊥ AD nên AB // CD.

               AD ⊥ AB, BC ⊥ AB nên AD // BC.

b) Tứ giác ABCD có AB // CD và AD // BC nên là hình bình hành.

Do đó AD = BC (tính chất hình bình hành).

Xét DABD và DBAC có:

$\widehat{BAD}=\widehat{ABC}=90°$;

AB là cạnh chung;

AD = BC (chứng minh trên)

Do đó DABD = DBAC (hai cạnh góc vuông).

Hình chữ nhật ABCD có $\widehat{ABC}=90°$ và AB, BC hai cạnh, AC là một đường chéo.

Áp dụng định lí Pythagore vào DABC vuông tại B, ta có:

AC² = AB² + BC²

Do đó d² = a² + b².

Suy ra $d=\sqrt{a^2+b^2};a=\sqrt{d^2-b^2};b=\sqrt{d^2-a^2}$.

• Với a = 8, b = 6 ta có: $d=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$;

• Với $a=\sqrt{15},d=\sqrt{24}$ ta có: $b=\sqrt{d^2-a^2}=\sqrt{{\left(\sqrt{24}\right)}^2-{\left(\sqrt{15}\right)}^2}=\sqrt{24-15}=3$;

• Với b = 5, d = 13 ta có: $a=\sqrt{d^2-b^2}=\sqrt{{13}^2-5^2}=12$.

Vậy ta có bảng sau:

Bốn ví dụ về hình chữ nhật trong thực tế: mặt chiếc bàn học; mặt bảng viết; mặt bìa quyển vở; hộp đựng bút.

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AD // BC.

Do $\widehat{BAD}$ là góc vuông nên AD ⊥ AB.

Ta có: AB // CD và AD ⊥ AB nên AD ⊥ CD hay $\widehat{ADC}$ là góc vuông;

           AD // BC và AD ⊥ AB nên BC ⊥ AB hay $\widehat{ABC}$ là góc vuông.

b) Hình bình hành ABCD có AB // CD nên cũng là hình thang có hai cạnh đáy là AB và CD.

Lại có hai đường chéo AC = BD nên là hình thang cân.

Do đó $\widehat{ABC}=\widehat{DCB}$ và $\widehat{BAD}=\widehat{CDA}$.

Tương tự ta cũng có $\widehat{BAD}=\widehat{ABC}$.

Suy ra $\widehat{BAD}=\widehat{ABC}=\widehat{DCB}=\widehat{CDA}$

Mà $\widehat{BAD}+\widehat{ABC}+\widehat{DCB}+\widehat{CDA}=360°$

Hay $4\widehat{BAD}=360°$, do đó $\widehat{BAD}=90°$.

Gọi tứ giác đã cho là ABCD (hình vẽ).

• Dùng compa kiểm tra được AB = CD; AD = BC và AC = BD.

• Tứ giác ABCD có AB = CD và AD = BC nên là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo AC = BD nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

a)

Dùng êke ba lần ta đo ba góc $\widehat{DAB},\widehat{ABC},\widehat{BCD}$ thì được $\widehat{DAB}=90°,$$\widehat{ABC}=90°,$$\widehat{BCD}=90°$.

Xét tứ giác ABCD có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

b) Sử dụng một cuộn dây:

• Ta đo đoạn thẳng AB bằng cách đánh dấu 2 điểm trên đoạn dây sao cho hai điểm đánh dấu trùng với hai điểm A, B.

• Đặt điểm đánh dấu thứ nhất trùng với điểm D và kiểm tra thấy điểm đánh dấu còn lại trùng với điểm C. Khi đó AB = CD.

• Làm tương tự ta cũng xác định được AD = BC và AC = BD.

Tứ giác ABCD có AB = CD, AD = BC nên là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo AC = BD nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

• Tứ giác ABCD có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

• Tứ giác ABCD có bốn góc bằng nhau nên $\widehat{BAD}=\widehat{ABC}=\widehat{DCB}=\widehat{CDA}$.

Mà $\widehat{BAD}+\widehat{ABC}+\widehat{DCB}+\widehat{CDA}=360°$

Hay $4\widehat{BAD}=360°$, suy ra $\widehat{BAD}=90°$.

Do đó $\widehat{BAD}=\widehat{ABC}=\widehat{DCB}=\widehat{CDA}=90°$ nên ABCD là hình chữ nhật.

Vậy ABCD vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật.

MNPQ là hình vuông nên là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Hình vuông MNPQ có bốn góc vuông nên là hình chữ nhật.

Hình vuông MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Vậy hình vuông MNPQ vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.

• Hình 10a):

Tứ giác MNPQ có hai đường chéo cắt nhau MP và NQ tại trung điểm O của mỗi đường nên là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo MP và NQ vuông góc với nhau tại O nên hình bình hành MNPQ là hình thoi (1)

Mặt khác: MP = OM + OP = 2OM

                 NQ = ON + OQ = 2ON

Mà OM = ON nên MP = NQ.

Ta có MNPQ là hình thoi nên cũng là hình bình hành.

Mà hai đường chéo MP và NQ bằng nhau nên hình bình hành MNPQ là hình chữ nhật (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình vuông.

• Hình 10b):

Tứ giác RSTU có RS = ST = TU = UR nên là hình thoi (1)

Do đó RSTU cũng là hình bình hành.

Lại có $\widehat{URS}=90°$ nên hình bình hành RSTU là hình chữ nhật (2)

Từ (1) và (2) suy ra RSTU là hình vuông.

Bốn ví dụ về hình vuông trong thực tế: mặt xúc xắc; gạch lát nền hình vuông; mặt bìa hộp bánh pizza hình vuông; mặt kệ gỗ hình vuông.

• Trường hợp 1: AB = BC.

Do ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành.

Lại có hai cạnh kề bằng nhau AB = BC nên hình bình hành ABCD là hình thoi.

ABCD vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi nên là hình vuông.

• Trường hợp 2: AC vuông góc với BD.

Do ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo vuông góc nên hình bình hành ABCD là hình thoi.

ABCD vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi nên là hình vuông.

• Trường hợp 3: AC là đường phân giác của góc BAD.

Do ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành.

Lại có đường chéo AC là đường phân giác của góc BAD nên hình bình hành ABCD là hình thoi.

ABCD vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi nên là hình vuông.

b)

Ta có hình thoi ABCD cũng là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo AC = BD nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Do đó $\widehat{BAD}=90°$.

b) Do DAEH = DDHG (câu a)

Suy ra HE = HG (hai cạnh tương ứng).

c) Chứng minh tương tự câu b, ta cũng có: HE = EF, HE = FG.

Khi đó tứ giác EFGH có HE = HG = EF = FG nên là hình thoi.

Tứ giác EFGH có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

Tứ giác EFGH vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật nên là hình vuông.

Do mặt kính của chiếc đồng hồ để bàn có ba góc vuông vuông mặt kính có hình chữ nhật.

Mà mặt kính có hai cạnh kề bằng nhau nên mặt kính có hình vuông.

Áp dụng định lí Pythagore vào DABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 100 = 10²

Suy ra BC = 10 (cm).

Xét DABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên AM bằng nửa cạnh huyền BC.

Do đó $x=AM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.10=5\left(cm\right)$.

Vậy x = 5 cm.

Lấy điểm P sao cho H là trung điểm của MP (hình vẽ).

Giải thích cách vẽ:

Tứ giác MNPQ có H là trung điểm của hai đường chéo MP và NQ nên là hình bình hành.

Lại có $\widehat{NMQ}=90°$ nên hình bình hành MNPQ là hình chữ nhật.

a)

Do E là điểm đối xứng với H qua I nên I là trung điểm của HE.

Tứ giác AHCE có hai đường chéo AC và HE cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường nên là hình bình hành.

Lại có $\widehat{AHC}=90°$ nên hình bình hành AHCE là hình chữ nhật.

b) Xét DAHC có AM, HI là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của DAHC.

Suy ra $HG=\frac{2}{3}HI$ và $IG=\frac{1}{2}HG$.

Chứng minh tương tự đối với DAEC có K là trọng tâm của DAEC.

Suy ra $EK=\frac{2}{3}EI$ và $IK=\frac{1}{2}EK$.

Ta có: $HG=\frac{2}{3}HI$, $EK=\frac{2}{3}EI$ và HI = EI nên $HG=EK\left(=\frac{2}{3}EI\right)$.

Lại có: $IG=\frac{1}{2}HG$ và $IK=\frac{1}{2}EK$ nên $IG=IK=\frac{1}{2}HG$

Mặt khác $GK=IG+IK=\frac{1}{2}HG+\frac{1}{2}HG=HG$.

Vậy HG = GK = KE.

a) Tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{BAC}=90°$ hay AB ⊥ AC.

Do DE // AB và AB ⊥ AC nên DE ⊥ AC hay $\widehat{DEA}=90°$.

Do DF // AC và AB ⊥ AC nên DF ⊥ AB hay $\widehat{DFA}=90$

Tứ giác AEDF có $\widehat{BAC}=90°$, $\widehat{DEA}=90°$ và $\widehat{DFA}=90$ nên là hình chữ nhật.

b) Do AEDF là hình chữ nhật nên AF = ED và AD = EF (tính chất hình chữ nhật).

Xét DABC có AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên bằng nửa cạnh huyền BC, do đó $AD=DB=DC=\frac{1}{2}BC$.

Từ đó suy ra $AD=EF=DB=DC=\frac{1}{2}BC$

Xét DBDF và DEFD có:

$\widehat{BFD}=\widehat{EDF}=90°$;

BD = EF (chứng minh trên);

DF là cạnh chung.

Do đó DBDF = DEFD (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra FB = DE (hai cạnh tương ứng).

Xét tứ giác BFED có FB = DE và FB // DE (do AB // DE) nên là hình bình hành.

Mở phần giấy cắt được ra ta được một tứ giác MNPQ như hình vẽ trên.

Ta có OM = ON = OP = OQ nên:

• O là trung điểm của MP và NQ;

• MP = OM + OP = 2OM và NQ = ON + OQ = 2ON

Suy ra MP = NQ.

Xét tứ giác MNPQ có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường nên là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo bằng nhau MP = NQ nên là hình chữ nhật.

Mặt khác MP ⊥ NQ nên hình chữ nhật MNPQ có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Do đó MNPQ là hình vuông.