Dựa vào độ dài các cạnh ở trên hình vẽ, ta có:

$\frac{AB}{AC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2};\frac{BD}{CD}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Do đó, đường phân giác AD của tam giác ABC chia cạnh đối diện BC thành hai đoạn BD. CD tỉ lệ với hai đoạn thẳng AB, AC trong hình.

a) Ta có: BE // AD suy ra $\widehat{AEB}=\widehat{CAD}$ (hai góc đồng vị),  $\widehat{ABE}=\widehat{BAD}$ (hai góc so le trong)

AD là tia phân giác góc $\widehat{BAC}$ nên $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$

Do đó: $\widehat{AEB}=\widehat{ABE}$ suy ra tam giác BAE cân tại A

b) Xét tam giác BCE có AD // BE, theo định lí Thalès, ta có: $\frac{DB}{DC}=\frac{AE}{AC}$

Mà AE = AB (do tam giác ABE cân tại A)

Do đó: $\frac{DB}{DC}=\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AC}$

a) Tam giác ABC có AD là đường phân giác nên $\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có $\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{DB+DC}{AB+AC}=\frac{BC}{AB+AC}$

Nên  $\frac{DB}{8}=\frac{DC}{6}=\frac{10}{8+6}$

Vậy $DB=\frac{40}{7}cm,BC=\frac{30}{7}cm$

b) Vẽ AH ⊥ BC tại H 

$\frac{S{}_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AH.DB}{\frac{1}{2}AH.DC}=\frac{DB}{DC}=\frac{\frac{40}{7}}{\frac{30}{7}}=\frac{4}{3}$

b) Xét tam giác ABC ta có: AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm.

Nên $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$ suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Khi đó, ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.AB=\frac{1}{2}\mathrm{.20.15}=150\left(c{m}^2\right)$

Vậy diện tích tam giác ABC là 150 cm².

c) Kẻ AH ⊥ BC ta có:

$\frac{S_{ADB}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}AH.BD}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{BD}{BC}=\frac{\frac{75}{7}}{25}=\frac{3}{7}$

Suy ra 

$$\begin{gathered} S_{ADB}=\frac{3}{7}\cdot S_{ABC}=\frac{3}{7}\cdot 150=\frac{450}{7}\left(c{m}^2\right) \\ \frac{S_{DCE}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}CE.DE}{\frac{1}{2}AC.AB}={\left(\frac{DE}{AB}\right)}^2={\left(\frac{\frac{60}{7}}{25}\right)}^2=\frac{144}{1225} \end{gathered}$$

Suy ra

$$\begin{gathered} S_{DCE}=\frac{144}{1225}\cdot S_{ABC}=\frac{144}{1225}\cdot 150=\frac{864}{49}\left(c{m}^2\right) \\ {S}_{ADE}=S_{ABC}-S_{ADB}-S_{DCE}=150-\frac{450}{7}-\frac{864}{49}=\frac{3336}{49}\left(c{m}^2\right) \end{gathered}$$

Vậy $S_{ADB}=\frac{450}{7}c{m}^2 ; S_{DCE}=\frac{864}{49}c{m}^2 ; S_{ADE}=\frac{3336}{49}c{m}^2$

a) Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore, ta có: 

$B{C}^2=AC{}^2+A{B}^2$  suy ra BC = 5 cm

AD là tia phân giác góc A nên $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$suy ra  $\frac{DB}{5-DB}=\frac{3}{4}$

⇒ $4DB=15-3DB\Rightarrow DB=\frac{15}{7}\left(cm\right)$

Do đó $DC=BC-DB=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}\left(cm\right)$

Vậy BC = 5 cm, $DB=\frac{15}{7}cm; DC=\frac{20}{7}cm$

b) Ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}AH.BC$

⇒ $AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{3.4}{5}=\frac{12}{5}\left(cm\right)$

Tam giác ABH vuông tại H nên $HB=\sqrt{A{B}^2-A{H}^2}=\sqrt{3^2-{\left(\frac{12}{5}\right)}^2}=\frac{9}{5}\left(cm\right)$

Ta có: $HD=DB-HB=\frac{15}{7}-\frac{9}{5}=\frac{12}{35}\left(cm\right)$

Tam giác ADH vuông tại H nên 

$AD=\sqrt{H{D}^2+A{H}^2}=\sqrt{{\left(\frac{12}{35}\right)}^2+{\left(\frac{12}{5}\right)}^2}=\frac{12\sqrt{2}}{7}\left(cm\right)$

Vậy $AH=\frac{12}{5}cm ; HD=\frac{12}{35}cm ; AD=\frac{12\sqrt{2}}{7}cm.$

• Xét tam giác ABM có MD là đường phân giác $\widehat{AMB}$ suy ra $\frac{DA}{DB}=\frac{MA}{MB}$

• Xét tam giác ACM có ME là đường phân giác $\widehat{AMC}$ suy ra $\frac{EA}{EB}=\frac{MA}{MC}$

Mà MB = MC, do đó: $\frac{DA}{DB}=\frac{EA}{EC}$; theo định lí Thalès đảo ta có: DE // BC.