Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:

Gọi S = S(t) là quãng đường rơi được của hòn đá tại thời điểm t (S(t) tính theo m, t tính theo giây).

Suy ra S'(t) = v(t), do đó S(t) là một nguyên hàm của v(t).

Ta có . Suy ra S(t) = 4,9t2 + C.

Mà hòn đá rơi từ mỏm đá có độ cao 150 m so với mặt đất theo phương thẳng đứng tức là tại thời điểm t = 0 thì S = 0 hay S(0) = 0, suy ra C = 0.

Vậy công thức tính quãng đường rơi được S(t) của hòn đá tại thời điểm t là:

S(t) = 4,9t2.

Khi hòn đá chạm đất thì S(t) = 150. Ta có 4,9t2 = 150. Suy ra .

Mà t > 0 nên .

Vậy sau giây thì hòn đá chạm đến mặt đất.

Ta có F'(x) = (x3)' = 3x2.

Hàm số F(x) = cot x là nguyên hàm của hàm số f(x) = vì (cot x)' = với mọi x ∈ ℝ \ {kπ| k ∈ ℤ}.

Ta có F'(x) = (x3 – 1)' = 3x2; G'(x) = (x3 + 5)' = 3x2.

Do đó, cả hai hàm số F(x) và G(x) có phải là nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2 trên ℝ.

Do (sin x)' = cos x nên sin x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên ℝ.

Vậy mọi nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x đều có dạng sin x + C, với C là một hằng số.

Do nên là một nguyên hàm của hàm số f(x) = kx2 trên ℝ.

Vậy .

Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nên F'(x) = f(x).

Suy ra kF'(x) = kf(x). Vì k là hằng số thực khác 0 nên kF'(x) = (kF(x))'.

Do đó, (kF(x))' = kf(x). Vậy kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.

Từ câu a, ta có . (1)

Lại có , suy ra .

Vì C1 tùy ý thuộc ℝ và k ≠ 0 nên C = kC1 tùy ý thuộc ℝ.

Do đó, . (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Vì F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x) trên K nên ta suy ra F'(x) = f(x), G'(x) = g(x).

Do đó, F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x).

Mà F'(x) + G'(x) = [F(x) + G(x)]' nên [F(x) + G(x)]' = f(x) + g(x).

Từ đó suy ra F(x) + G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K.

Từ câu a, ta suy ra . (1)

Lại có .

Vì C, C1, C2 là các hằng số tùy ý trên K nên ta có C1 + C2 = C tùy ý trên K.

Do đó, . (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Ta có .

Ta có f(x) = (4x – 3)(x2 + 3) = 4x3 – 3x2 + 12x – 9.

= x4 – x3 + 6x2 – 9x + C.

Ta có = x6 + x2 – 3x + C.

Vì F(– 1) = – 5 nên (– 1)6 + (– 1)2 – 3 ∙ (– 1) + C = – 5, suy ra C = – 10.

Vậy F(x) = x6 + x2 – 3x – 10.

Công thức chiều cao h(t) của cây sau t năm là một nguyên hàm của hàm số h'(t).

Ta có .

Suy ra h(t) = 0,75t2 + 5t + C.

Vì cây con khi được trồng cao 12 cm nên h(0) = 12.

Do đó 0,75 ∙ 02 + 5 ∙ 0 + C = 12, suy ra C = 12.

Vậy công thức tính chiều cao của cây sau t năm là h(t) = 0,75t2 + 5t + 12.

Khi cây được bán, tức là t = 6, ta có h(6) = 0,75 ∙ 62 + 5 ∙ 6 + 12 = 69.

Vậy khi được bán, cây cao 69 cm.

Hàm số B(t) là một nguyên hàm của hàm số B'(t).

Ta có

.

Suy ra B(t) = 5t4 – 100t3 + 500t2 + C.

Vì sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội nên B(1) = 500.

Do đó, 5 ∙ 14 – 100 ∙ 13 + 500 ∙ 12 + C = 500, suy ra C = 95.

Vậy công thức của hàm số B(t) biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội là 

B(t) = 5t4 – 100t3 + 500t2 + 95 (0 ≤ t ≤ 15).

Ta có B(3) = 5 ∙ 34 – 100 ∙ 33 + 500 ∙ 32 + 95 = 2 300.

Vậy sau 3 giờ có 2 300 khách tham dự lễ hội.

Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất chính là giá trị lớn nhất của hàm số B(t) trên đoạn [0; 15].

Ta có B'(t) = 20t3 – 300t2 + 1 000t.

Trên khoảng (0; 15), B'(t) = 0 khi t = 5 hoặc t = 10.

B(0) = 95; B(5) = 3 220; B(10) = 95; B(15) = 28 220.

Do đó, tại t = 15.

Vậy số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là 28 220 khách sau 15 giờ.

Tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất chính là giá trị lớn nhất của hàm số B'(t) trên đoạn [0; 15].

Ta có B''(t) = (20t3 – 300t2 + 1 000t)' = 60t2 – 600t + 1 000.

Trên khoảng (0; 15), B''(t) = 0 khi hoặc .

B'(0) = 0; ; B'(15) = 15 000.

Do đó, tại t = 15.

Vậy tại thời điểm t = 15 giờ thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất.

Hàm số M(t) là một nguyên hàm của hàm số m(t).

Ta có .

Suy ra M(t) = 800t – t2 + C.

Tại t = 0 thì M(t) = M(0) = 0.

Do đó 800 ∙ 0 – 02 + C = 0, suy ra C = 0.

Khi đó, M(t) = 800t – t2 (0 ≤ t ≤ 400).

Số ngày công tính đến khi hoàn thành dự án là

M(400) = 800 ∙ 400 – 4002 = 160 000 (ngày công).

Chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành dự án) là

160 000 ∙ 400 000 = 6,4 ∙ 1010 (đồng) = 64 (tỷ đồng).

Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:

Giả sử con lắc chuyển động theo phương trình: s = s(t). Suy ra s'(t) = v(t), do đó s(t) là một nguyên hàm của v(t). Ta có:

.

Suy ra s(t) = 4sin t + C.

Tại thời điểm t = 0, ta có s(0) = 0, tức là 4sin 0 + C = 0, hay C = 0. 

Vậy phương trình chuyển động của con lắc là: s(t) = 4sin t.

Ta có

        .

Với x ∈ (0; + ∞) thì |x| = x. Do đó, y = ln|x| = ln x.

Ta có y' = (ln x)' = .

Ta có (– cos x)' = – (cos x)' = – (– sin x) = sin x.

Vậy hàm số y = – cos x là một nguyên hàm của hàm số y = sin x.

Với x ≠ kπ (k ∈ ℤ), ta có (– cot x)' = – (cot x)' = – .

Vậy hàm số y = – cot x là một nguyên hàm của hàm số .

Với x ≠ + kπ (k ∈ ℤ), ta có (tan x)' = .

Vậy hàm số y = tan x là một nguyên hàm của hàm số .

Với a > 0, a ≠ 1, ta có .

Vậy một nguyên hàm của hàm số f(x) = ax là .

Đáp án đúng là: D

Ta có .

Đáp án đúng là: C

Ta có .

Đáp án đúng là: D

Ta có  

.

Đáp án đúng là: B

Ta có

   = 2x – tan x + C.

.

Hàm số h(t) là một nguyên hàm của hàm số v(t).

Ta có .

Suy ra .

Vì cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm nên h(0) = 5, suy ra C = 5.

Vậy công thức xác định hàm số h(t) là: .

Xét hàm số .

Ta có h'(t) = v(t) = – 0,1t3 + t2; h'(t) = 0 khi t = 0 hoặc t = 10.

Bảng biến thiên của hàm số h(t) trên [0; + ∞) như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài 10 tuần.

Xét hàm tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua: v(t) = – 0,1t3 + t2 (t ≥ 0).

Ta có v'(t) = – 0,3t2 + 2t; v'(t) = 0 khi t = 0 hoặc t = .

Bảng biến thiên của hàm số v(t) trên [0; + ∞) như sau:

Từ bảng biến thiên ta suy ra vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì cây cà chua cao cm.

Hàm số P(t) là một nguyên hàm của hàm số P'(t).

Ta có .

Suy ra .

Quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 500 vi khuẩn nên với t = 0 thì P = 500 hay P(0) = 500, suy ra , do đó C = 500.

Suy ra .

Vì sau 1 ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành 600 vi khuẩn, tức là khi t = 1 thì P = 600, hay P(1) = 600, suy ra , do đó k = 150.

Khi đó, công thức tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm t là:

.

Vậy số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày là:

(vi khuẩn).