29 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Giải SGK Toán 12 Bài 11. Nguyên hàm

Giải SGK Toán 12 Bài 11. Nguyên hàm

Đề số 1

Giải SGK Toán 12 Bài 11. Nguyên hàm

8 lượt thi
29 câu hỏi
0 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi v(t) = 5 + 3t (m/s), với t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 30 giây thì máy bay cất cánh rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển kể từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là bao nhiêu mét?

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Gọi S(t) (0 ≤ t ≤ 30) là quãng đường máy bay di chuyển được sau t giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà.

Ta có v(t) = S'(t). Do đó, S(t) là một nguyên hàm của hàm số vận tốc v(t). Sử dụng tính chất của nguyên hàm ta được

\(S\left( t \right) = \int {v(t)dt = \int {\left( {5 + 3t} \right)dt} = 5\int {dt + 3\int {tdt} = 5t + \frac{3}{2}{t^2} + C.} } \)

Theo giả thiết, S(0) = 0 nên C = 0 và ta được\(S\left( t \right) = \frac{3}{2}{t^2} + 5t\;\left( m \right)\)..

Máy bay rời đường băng khi t = 30 giây nên\(S = S\left( {30} \right) = \frac{3}{2}{.30^2} + 5.30 = 1500\;\left( m \right)\)..

Vậy quãng đường máy bay đã di chuyển kể từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là 1500 m.

Câu 2:

Cho hai hàm số f(x) = x² + 1 và $F (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x$ , với x ∈ ℝ.

a) Tính đạo hàm của hàm số F(x).

b) F'(x) và f(x) có bằng nhau không?

a) Ta có \(F'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{3}{x^3} + x} \right)^\prime } = {x^2} + 1\).

b) Ta có F'(x) = f(x) = x² + 1.

Câu 3:

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = x + \frac{1}{x}$ trên khoảng (0; +∞).

a) $F (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \ln x$ ; b) $G (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln x$ .

Ta có \(F'\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{2}{x^2} + \ln x} \right)^\prime } = x + \frac{1}{x}\), \(G'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \ln x} \right)^\prime } = x - \frac{1}{x}\).

Vì \(F'\left( x \right) = f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng (0; +∞) nên hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (0; +∞).

Hàm số G(x) không là nguyên hàm của f(x) trên khoảng (0; +∞) vì với x = 1 ∈ (0; +∞), ta có G'(1) = 0 ≠ 2 = f(1).

Câu 4:

a) Chứng minh rằng hàm số $F (x) = \frac{x^{4}}{4}$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ trên ℝ.

a) Vì \(F'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^4}}}{4}} \right)^\prime } = {x^3} = f\left( x \right)\) nên hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ trên ℝ.

Câu 5:

b) Hàm số $G (x) = \frac{x^{4}}{4} + C$ (với C là hằng số) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ không? Vì sao?

b) Vì \(G'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + C} \right)^\prime } = {x^3} = f\left( x \right)\) nên hàm số \(G\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + C\) (với C là hằng số) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ.

Câu 6:

Tìm $\int x^{3} d x$ .

Vì \({\left( {\frac{{{x^4}}}{4}} \right)^\prime } = {x^3}\) nên \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ trên ℝ.

Do đó, \(\int {{x^3}} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + C\).

Câu 7:

Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là một hằng số khác 0. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K.

a) Chứng minh kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.

b) Nêu nhận xét về $\int k f (x) d x$ và $k \int f (x) d x$ .

a) Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K nên F'(x) = f(x).

Ta cần chứng minh (kF(x))' = kf(x).

Ta có (kF(x))' = k(F(x))' = kf(x).

Vậy kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.

b) Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K nên \(\int {f\left( x \right)} dx = F\left( x \right) + C\).

Có \(\int {kf\left( x \right)} dx = kF\left( x \right) + C'\).

Vì C' ta có thể viết lại bằng kC. Tức là C' = kC.

Do đó \(\int {kf\left( x \right)} dx = kF\left( x \right) + kC = k\left( {F\left( x \right) + C} \right) = k\int {f\left( x \right)dx} \).

Vậy \(\int {kf\left( x \right)} dx = k\int {f\left( x \right)dx} \).

Câu 8:

Cho hàm số f(x) = xⁿ (n ∈ ℕ*).

a) Chứng minh rằng hàm số $F (x) = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ là một nguyên hàm của hàm số f(x). Từ đó tìm $\int x^{n} d x$ .

b) Từ kết quả câu a, tìm $\int k x^{n} d x$ (k là hằng số thực khác 0).

a) Vì \(F'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)^\prime } = {x^n}\) nên hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x).

Ta có \(\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).

b) Ta có \(\int {k{x^n}} dx = k\int {{x^n}} dx = k\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).

Câu 9:

Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x) trên K.

a) Chứng minh F(x) + G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K.

b) Nêu nhận xét về $\int [f (x) + g (x)] d x$ và $\int f (x) d x + \int g (x) d x$ .

a) Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) nên F'(x) = f(x) và G(x) là một nguyên hàm của g(x) nên G'(x) = g(x).

Ta có (F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x).

Do đó F(x) + G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K.

b) Ta có \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx = F\left( x \right) + G\left( x \right) + C\) với C là hằng số bất kì.

Có \(\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + {C_1};\int {g\left( x \right)} } dx = G\left( x \right) + {C_2}\) với C₁; C₂ là các hằng số bất kì.

Do đó \[\int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)} } dx = F\left( x \right) + {C_1} + G\left( x \right) + {C_2} = F\left( x \right) + G\left( x \right) + \left( {{C_1} + {C_2}} \right)\].

Ta có thể biểu diễn C = C₁ + C₂.

Do đó \[\int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)} } dx = F\left( x \right) + G\left( x \right) + C\].

Vậy \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)} } dx\).

Câu 10:

Tìm

a) $\int (3 x^{2} + 1) d x$ ; b) $\int {(2 x - 1)}^{2} d x$ .

a) \(\int {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx} = 3\int {{x^2}dx} + \int {dx = {x^3} + x + C} \).

b) \(\int {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}dx} = \int {\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)dx} = 4\int {{x^2}dx - 4\int {xdx + \int {dx = \frac{{4{x^3}}}{3}} } } - 2{x^2} + x + C\).

Câu 11:

Doanh thu bán hàng của một công ty khi bán một loại sản phẩn là số tiền R(x) (triệu đồng) thu được khi x đơn vị sản phẩm được bán ra. Tốc độ biến động (thay đổi) của doanh thu khi x đơn vị sản phẩm đã được bán là hàm số M_R(x) = R'(x). Một công ty công nghệ cho biết, tốc độ biến đổi của doanh thu khi bán một loại con chíp của hãng được cho bởi M_R(x) = 300 – 0,1x, ở đó x là số lượng chíp đã bán. Tìm doanh thu của công ty khi đã bán 1000 con chíp.

Doanh thu của công ty là \(R\left( x \right) = \int {\left( {300 - 0,1x} \right)dx = 300x - \frac{1}{{20}}{x^2} + C} \).

Vì R(0) = 0 nên C = 0.

Do đó \[R\left( x \right) = 300x - \frac{1}{{20}}{x^2}\].

Doanh thu của công ty khi đã bán 1000 con chíp là:

\[R\left( {1000} \right) = 300.1000 - \frac{1}{{20}}{.1000^2} = 250000\] triệu đồng.

Câu 12:

Bằng cách viết lại các hàm số sau dưới dạng hàm số lũy thừa y = x^α (x > 0), hãy tính đạo hàm của các hàm số sau với x > 0: $y = \frac{1}{x^{4}}; y = x^{\sqrt{2}}; y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Có \(y = \frac{1}{{{x^4}}} = {x^{ - 4}}\)\( \Rightarrow y' = {\left( {{x^{ - 4}}} \right)^\prime } = - 4{x^{ - 5}} = - \frac{4}{{{x^5}}}\).

\(y' = {\left( {{x^{\sqrt 2 }}} \right)^\prime } = \sqrt 2 {x^{\sqrt 2 - 1}}\).

\(y = \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} = {x^{\frac{{ - 1}}{3}}}\)\( \Rightarrow y' = {\left( {{x^{\frac{{ - 1}}{3}}}} \right)^\prime } = - \frac{1}{3}{x^{\frac{{ - 4}}{3}}} = \frac{{ - 1}}{{3{x^{\frac{4}{3}}}}}\).

Câu 13:

a) Với α ≠ −1, tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{x^{α + 1}}{α + 1} (x > 0)$ .

a) \(y' = {\left( {\frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} \right)^\prime } = \frac{{\left( {\alpha + 1} \right).{x^\alpha }}}{{\alpha + 1}} = {x^\alpha }\).

Câu 14:

b) Cho hàm số y = ln|x| (x ≠ 0). Tính đạo hàm của hàm số này trong hai trường hợp: x > 0 và x < 0.

b) Với x > 0 thì y = ln|x| = lnx. Do đó \(y' = {\left( {\ln x} \right)^\prime } = \frac{1}{x}\).

Với x < 0 thì y = ln|x| = ln(−x). Do đó \(y' = {\left( {\ln \left( { - x} \right)} \right)^\prime } = \frac{{{{\left( { - x} \right)}^\prime }}}{{ - x}} = \frac{1}{x}\).

Câu 15:

Tìm:

a) $\int \frac{1}{x^{4}} d x$ ; b) $\int x \sqrt{x} d x (x > 0)$ ; c) $\int (\frac{3}{x} - 5 \sqrt[3]{x}) d x (x > 0)$ .

a) \(\int {\frac{1}{{{x^4}}}} dx = \int {{x^{ - 4}}} dx = \frac{{{x^{ - 3}}}}{{ - 3}} + C = \frac{{ - 1}}{{3{x^3}}} + C\).

b) \(\int {x\sqrt x } dx = \int {{x^{\frac{3}{2}}}} dx = \frac{{{x^{\frac{3}{2} + 1}}}}{{\frac{3}{2} + 1}} + C = \frac{2}{5}{x^{\frac{5}{2}}} + C = \frac{2}{5}{x^2}\sqrt x + C\).

c) \(\int {\left( {\frac{3}{x} - 5\sqrt[3]{x}} \right)} dx = 3\int {\frac{1}{x}} dx - 5\int {{x^{\frac{1}{3}}}} dx\)

\( = 3\ln \left| x \right| - 5.\frac{{{x^{\frac{1}{3} + 1}}}}{{\frac{1}{3} + 1}} + C = 3\ln \left| x \right| - \frac{{15}}{4}{x^{\frac{4}{3}}} + C = 3\ln \left| x \right| - \frac{{15}}{4}x\sqrt[3]{x} + C\).

Câu 16:

a) Tính đạo hàm của các hàm số sau và nêu kết quả tương ứng vào bảng dưới đây.

F(x)	sinx	cosx	tanx	cotx
F'(x)	?	?	?	?

a)

F(x)	sinx	cosx	tanx	cotx
F'(x)	cosx	−sinx	\(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)	\( - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)

Câu 17:

b) Sử dụng kết quả ở câu a, tìm nguyên hàm của các hàm số cho trong bảng dưới đây.

f(x)	cosx	sinx	\(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)	\(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)
\(\int {f\left( x \right)} dx\)	?	?	?	?

b)

f(x)	cosx	sinx	\(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)	\(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)
\(\int {f\left( x \right)} dx\)	sinx + C	−cosx + C	tanx + C	−cotx + C

Câu 18:

Tìm:

a) $\int (3 \cos x - 4 \sin x) d x$ ; b) $\int (\frac{1}{\cos^{2} x} - \frac{1}{\sin^{2} x}) d x$ .

a) \(\int {\left( {3\cos x - 4\sin x} \right)dx} \)\( = 3\int {\cos xdx - 4\int {\sin xdx} } \)\( = 3\sin x + 4\cos x + C\).

b) \(\int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)\( = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx - \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} } \)\( = \tan x + \cot x + C\).

Câu 19:

Tìm:

a) $\int 4^{x} d x$ ; b) $\int \frac{1}{e^{x}} d x$ ; c) $\int ({2.3}^{x} - \frac{1}{3} {.7}^{x}) d x$ .

a) \(\int {{4^x}} dx = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C\).

b) \(\int {\frac{1}{{{e^x}}}} dx = \int {{e^{ - x}}dx = - {e^{ - x}} + C} \).

c) \(\int {\left( {{{2.3}^x} - \frac{1}{3}{{.7}^x}} \right)} dx\)\( = 2\int {{3^x}dx - \frac{1}{3}} \int {{7^x}} dx\)\( = 2.\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} - \frac{1}{3}.\frac{{{7^x}}}{{\ln 7}} + C\).

Câu 20:

Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F(x) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng tương ứng không? Vì sao?

a) F(x) = xlnx và f(x) = 1 + lnx trên khoảng (0; +∞);

b) F(x) = e^sinx và f(x) = e^cosx trên ℝ.

a) Có F'(x) = (xlnx)' = $\ln x + x . \frac{1}{x} = 1 + \ln x$ = f(x).

Do đó, hàm số F(x) = xlnx là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 + lnx trên khoảng (0; +∞).

b) Có F'(x) = (e^sinx)' = e^sinx.(sinx)' = cosx.e^sinx ≠ f(x) = e^cosx.

Do đó, hàm số F(x) = e^sinx không là nguyên hàm của hàm số f(x) = e^cosx trên ℝ.

Câu 21:

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = 3x² + 2x – 1; b) f(x) = x³ – x;

a) \(\int {\left( {3{x^2} + 2x - 1} \right)dx = 3\int {{x^2}dx} } + 2\int {xdx - \int {dx} } = {x^3} + {x^2} - x + C\).

b) \(\int {\left( {{x^3} - x} \right)dx = \int {{x^3}dx - \int {xdx = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2} + C} } } \).

Câu 22:

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

c) f(x) = (2x + 1)²; d) $f (x) = {(2 x - \frac{1}{x})}^{2}$ .

c) \(\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}} dx = \int {\left( {4{x^2} + 4x + 1} \right)dx = 4\int {{x^2}dx + 4\int {xdx + \int {dx = \frac{4}{3}} } } } {x^3} + 2{x^2} + x + C\).

d) \({\int {\left( {2x - \frac{1}{x}} \right)} ^2}dx = \int {\left( {4{x^2} - 4 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} \)\( = 4\int {{x^2}dx - 4\int {dx} + \int {{x^{ - 2}}dx} } \)\( = \frac{4}{3}{x^3} - 4x - \frac{1}{x} + C\).

Câu 23:

Tìm:

a) $\int (3 \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}) d x$ ; b) $\int \sqrt{x} (7 x^{2} - 3) d x (x > 0)$ ;

a) \(\int {\left( {3\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} dx\)\( = 3\int {{x^{\frac{1}{2}}}dx + \int {{x^{ - \frac{1}{3}}}dx} } = 2{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2}{x^{\frac{2}{3}}} + C\)\( = 2x\sqrt x + \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{x^2}}} + C\).

b) \(\int {\sqrt x \left( {7{x^2} - 3} \right)dx} \)\( = 7\int {{x^{\frac{5}{2}}}dx - 3\int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} } = 2{x^{\frac{7}{2}}} - 2{x^{\frac{3}{2}}} + C = 2\sqrt {{x^7}} - 2\sqrt {{x^3}} + C\).

Câu 24:

Tìm:

c) $\int \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x$ ; d) $\int (2^{x} + \frac{3}{x^{2}}) d x$ .

c) \(\int {\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}dx} \)\( = \int {\frac{{4{x^2} + 4x + 1}}{{{x^2}}}dx} \)\( = \int {\left( {4 + \frac{4}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} \)

\( = 4\int {dx + 4\int {\frac{1}{x}dx + \int {\frac{1}{{{x^2}}}} } } dx\)\( = 4x + 4\ln \left| x \right| - \frac{1}{x} + C\).

d) \(\int {\left( {{2^x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} dx\)\( = \int {{2^x}dx + 3\int {{x^{ - 2}}dx} } \)\( = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \frac{3}{x} + C\).

Câu 25:

Tìm:

a) $\int (2 \cos x - \frac{3}{\sin^{2} x}) d x$ ; b) $\int 4 \sin^{2} \frac{x}{2} d x$ ;

a) \(\int {\left( {2\cos x - \frac{3}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx\)\( = 2\int {\cos xdx - 3\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} } \)\( = 2\sin x + 3\cot x + C\).

b) \(\int {4{{\sin }^2}} \frac{x}{2}dx\)\( = 2\int {\left( {1 - \cos x} \right)} dx\)\( = 2\int {dx - 2\int {\cos xdx} } \)\( = 2x - 2\sin x + C\).

Câu 26:

Tìm:

c) $\int {(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})}^{2} d x$ ; d) $\int (x + \tan^{2} x) d x$ .

c) \(\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}dx} \)\( = \int {\left( {1 - 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}} \right)dx} \)\( = \int {dx} - \int {\sin xd} x\)\( = x + \cos x + C\).

d) \(\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} dx\)\( = \int {xdx + \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} } \)\( = \int {xdx + \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx - \int {dx} } } \)

\( = \frac{{{x^2}}}{2} + \tan x - x + C\).

Câu 27:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (0; +∞). Biết rằng, $f^{'} (x) = 2 x + \frac{1}{x^{2}}$ với mọi x ∈ (0; +∞) và f(1) = 1. Tính giá trị f(4).

Có \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {2x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx = {x^2}} - \frac{1}{x} + C\).

Vì f(1) = 1 nên 1 – 1 + C = 1 Þ C = 1.

Do đó \(f\left( x \right) = {x^2} - \frac{1}{x} + 1\).

Vậy \(f\left( 4 \right) = {4^2} - \frac{1}{4} + 1 = \frac{{67}}{4}\).

Câu 28:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). Xét điểm M(x; f(x)) thay đổi trên (C). Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là k_M = (x – 1)² và điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức f(x).

Vì hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là k_M = (x – 1)² nên ta có:

\(f\left( x \right) = \int {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} dx = \int {\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)dx} \)\( = \int {{x^2}dx - 2\int {xdx + \int {dx} } } \)\( = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + x + C\).

Vì điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung nên f(0) = 0.

Do đó \(f\left( 0 \right) = \frac{{{0^3}}}{3} - {0^2} + 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0\).

Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + x\).

Câu 29:

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi v(t) = 160 – 9,8t (m/s). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):

a) Sau t = 5 giây;

b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Gọi S(t) là độ cao của viên đạn bắn lên từ mặt đất sau t giây kể từ thời điểm đạn được bắn lên.

Khi đó \(S\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt = \int {\left( {160 - 9,8t} \right)dt = 160t - 4,9{t^2}} + C} \).

Vì S(0) = 0 nên 160.0 – 4,9.0 + C = 0 Þ C = 0.

Do đó S(t) = −4,9t² + 160 t.

a) Sau 5 giây độ cao của viên đạn là: S(5) = −4,9.5² + 160.5 = 677,5 (m).

b) Có S(t) = −4,9t² + 160 t

= \( - \frac{1}{{10}}\left( {49{t^2} - 2.7t.\frac{{800}}{7} + \frac{{640000}}{{49}}} \right) + \frac{{64000}}{{49}}\)

\( - \frac{1}{{10}}{\left( {7t - \frac{{800}}{7}} \right)^2} + \frac{{64000}}{{49}} \le \frac{{64000}}{{49}}\).

Viên đạn đạt độ cao lớn nhất là \(\frac{{64000}}{{49}} \approx 1306,1\) m khi \(t = \frac{{800}}{{49}}\) giây.

Bắt đầu thi ngay