Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 30. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập
Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 30. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập
-
90 lượt thi
-
19 câu hỏi
-
0 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
13/07/2024Tại vòng chung kết của một đại hội thể thao, vận động viên An thi đấu môn Bắn súng, vận động viên Bình thi đấu môn Bơi lội. Biết rằng xác suất giành huy chương của vận động viên An và vận động viên Bình tương ứng là 0,8 và 0,9. Hỏi xác suất để cả hai vận động viên đạt huy chương là bao nhiêu ?
Sau bài học, ta trả lời được như sau:
Xác suất để cả hai vận động viên đạt huy chương là: 0,8 . 0,9 = 0,72.
Câu 2:
17/07/2024Có hai hộp đựng các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Hộp I có 6 quả màu trắng và 4 quả màu đen. Hộp II có 1 quả màu trắng và 7 quả màu đen. Bạn Long lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I, bạn Hải lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II. Xét các biến cố sau:
A: “Bạn Long lấy được quả bóng màu trắng”;
B: “Bạn Hải lấy được quả bóng màu đen”.
a) Tính P(A), P(B) và P(AB).
a)
+ Tính P(A):
Biến cố A là tập hợp các quả màu trắng trong 10 quả của hộp I nên n(A) = 6.
Suy ra: P(A) = .
+ Tính P(B)
Biến cố B là tập hợp các quả màu đen trong 8 quả của hộp II nên n(B) = 7.
Suy ra: P(B) = .
+ Tính P(AB):
Biến cố C = A ∩ B là biến cố “Bạn Long lấy được quả màu trắng và bạn Hải lấy được quả màu đen”.
Không gian mẫu Ω là tập hợp các cách chọn gồm 2 công đoạn:
Công đoạn 1: Bạn Long lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I.
Có 6 + 4 = 10 (cách chọn).
Công đoạn 2: Bạn Hải lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II.
Có 1 + 7 = 8 (cách chọn)
Theo quy tắc nhân, ta có: n(Ω) = 10 . 8 = 80.
Biến cố C là tập hợp các cách chọn gồm 2 công đoạn:
Công đoạn 1: Bạn Long lấy được quả màu trắng trong hộp I. Có 6 cách chọn.
Công đoạn 2: Bạn Hải lấy được quả màu đen trong hộp II. Có 7 cách chọn.
Theo quy tắc nhân, ta có: n(C) = 6 . 7 = 42.
Suy ra: P(AB) = P(C) = .
Câu 3:
22/07/2024b) So sánh P(AB) và P(A) . P(B).
b)
Ta có: P(A) . P(B) =
Như vậy P(A) . P(B) = P(AB).
Câu 4:
13/07/2024Hai biến cố A và B trong HĐ1 độc lập hay không độc lập ? Tại sao ?
Vì Long và Hải lấy bóng từ hai hộp khác nhau nên:
Dù biến cố A có xảy ra hay không ta đều có P(B) = .
Dù biến cố B có xảy ra hay không ra đều có P(A) = .
Vậy hai biến cố A và B độc lập.
Câu 5:
17/07/2024Các học sinh lớp 11D làm thí nghiệm gieo hai loại hạt giống A và B. Xác suất để hai loại hạt giống A và B nảy mầm tương ứng là 0,92 và 0,88. Giả sử việc nảy mầm của hạt A và hạt B là độc lập với nhau. Dùng sơ đồ hình cây tính xác suất để:
a) Hạt giống A nảy mầm còn hạt giống B không nảy mầm;
Gọi A là biến cố “Hạt giống A nảy mầm”; B là biến cố “Hạt giống B nảy mầm”.
Các biến cố đối là biến cố “Hạt giống A không nảy mầm”; là “Hạt giống B không nảy mầm”.
Ta có:
P(A) = 0,92. Suy ra P() = 1 – 0,92 = 0,08.
P(B) = 0,88. Suy ra P() = 1 – 0,88 = 0,12.
Ta có sơ đồ hình cây như sau:
Ta có hai biến cố A và B độc lập.
a)
Biến cố: “Hạt giống A nảy mầm còn hạt giống B không nảy mầm” là biến cố A.
Áp dụng công thức nhân xác suất, ta có:
P(A) = P(A) . P() = 0,92 . 0,12 = 0,1104.
Câu 6:
22/07/2024b) Hạt giống A không nảy mầm còn hạt giống B nảy mầm;
b)
Biến cố: “Hạt giống A không nảy mầm còn hạt giống B nảy mầm” là biến cố B.
Áp dụng công thức nhân xác suất, ta có:
P(B) = P() . P(B) = 0,08 . 0,88 = 0,0704.
Câu 7:
14/07/2024c) Ít nhất có một trong hai loại hạt giống nảy mầm.
c)
Biến cố: “Có ít nhất một trong hai loại hạt giống nảy mầm” là biến cố A ∪ B.
Áp dụng công thức cộng xác suất và công thức nhân xác suất, ta có:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB)
= P(A) + P(B) – P(A) . P(B)
= 0,92 + 0,88 – 0,92 . 0,88
= 0,9904.
Vậy P(A ∪ B) = 0,9904.
Câu 8:
05/07/2024Để nghiên cứu mối liên quan giữa thói quen hút thuốc lá với bệnh viêm phổi, nhà nghiên cứu chọn một nhóm 5 000 người đàn ông. Với mỗi người trong nhóm, nhà nghiên cứu kiểm tra xem họ có nghiện thuốc lá và có bị viêm phổi hay không. Kết quả được thống kê trong bảng sau:
Từ bảng thống kê trên, hãy chứng tỏ rằng việc nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi có liên quan với nhau.
Chọn ngẫu nhiên một người đàn ông.
Gọi A là biến cố “Người đó nghiện thuốc lá”,
B là biến cố “Người đó mắc bệnh viêm phổi”.
Khi đó, AB là biến cố “Người đó nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi”.
Ta có: P(A) = ; P(B) =
Suy ra: P(A) . P(B) = = 0,10552304
Mặt khác số người nghiện thuốc là và mắc bệnh viêm phổi là 752 nên
P(AB) = = 0,1504.
Do đó, P(AB) ≠ P(A) . P(B) nên hai biến cố A và B không độc lập.
Vậy ta kết luận rằng việc nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi có liên quan với nhau.
Câu 9:
23/07/2024Cho hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc với P(A) > 0, P(B) > 0. Chứng tỏ rằng hai biến cố A và B không độc lập.
Hai biến cố A và B xung khắc khi và chỉ khi A ∩ B = ∅. Suy ra: P(AB) = 0.
Vì P(A) > 0, P(B) > 0 nên P(A) . P(B) > 0.
Do đó, P(AB) ≠ P(A) . P(B)
Vậy hai biến cố A và B không độc lập.
Câu 10:
21/07/2024Một thùng đựng 60 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 60. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong thùng. Xét hai biến cố sau:
A: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của 60” và B: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của 48”.
Chứng tỏ rằng A và B là hai biến cố không độc lập.
Ta có:
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60}
B = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48}
Do đó, AB = A ∩ B = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.
Suy ra
P(A) = ; P(B) = ; P(AB) = .
Mặt khác, P(A) . P(B) = .
Khi đó P(AB) ≠ P(A) . P(B) nên hai biến cố A và B không độc lập.
Câu 11:
21/07/2024Có hai túi đựng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Túi I có 3 viên bi màu xanh và 7 viên bi màu đỏ. Túi II có 10 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Tính xác suất để:
a) Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh;
Vì hai túi là khác nhau nên biến cố lấy một viên bi mỗi túi là độc lập.
Gọi biến cố A: “Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh”;
B là biến cố “Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ”;
C là biến cố “Hai viên bi được lấy có cùng màu”.
a)
Xác suất lấy được viên bi màu xanh từ túi I là: .
Xác suất lấy được viên bi màu xanh từ túi II là: .
Theo quy tắc nhân, xác suất lấy được hai viên bi cùng màu xanh là:
P(A) = .
Câu 12:
22/07/2024b) Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ;
b)
Xác suất lấy được viên bi màu đỏ từ túi I là: .
Xác suất lấy được viên bi màu đỏ từ túi II là: .
Theo quy tắc nhân, xác suất lấy được hai viên bi cùng màu đỏ là:
P(B) =
Câu 13:
20/07/2024c) Hai viên bi được lấy có cùng màu;
c)
Ta có C = A ∪ B mà A và B xung khắc nên áp dụng công thức cộng xác suất:
P(C) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = .
Vậy xác suất để hai viên bi được lấy có cùng màu là: .
Câu 14:
27/06/2024d) Hai viên bi được lấy không cùng màu.
d) Gọi biến cố D: “Hai viên bi được lấy không cùng màu”.
Khi đó, .
Suy ra: P(D) = 1 – P() = 1 – P(C) = 1 – = .
Vậy xác suất để hai viên bi được lấy không cùng màu là .
Câu 15:
23/07/2024Có hai túi mỗi túi đựng 10 quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ 1 đến 10. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để trong hai quả cầu được lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5.
Gọi A là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1”,
A1 là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi I không ghi số 1”,
A2 là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi II không ghi số 1”.
Ta có A = A1A2. Hai biến cố A1 và A2 độc lập nên P(A) = P(A1) . P(A2).
Lại có P(A1) = P(A2) = = 0,9. Do đó P(A) = (0,9)2.
Gọi B là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào ghi số 5”,
B1 là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi I không ghi số 5”,
B2 là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi II không ghi số 5”.
Ta có B = B1B2. Hai biến cố B1 và B2 độc lập nên P(B) = P(B1) . P(B2).
Lại có P(B1) = P(B2) = = 0,9. Do đó P(B) = (0,9)2.
Gọi E là biến cố: “Trong hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5”.
Ta có E = A ∪ B.
Theo công thức cộng xác suất ta có P(E) = P(A) + P(B) – P(AB).
Ta có AB là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra không có quả nào ghi số 1 và ghi số 5”.
Gọi H1 là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi I không ghi số 1 và số 5”,
H2 là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ túi II không ghi số 1 và số 5”.
Ta có AB = H1H2. Hai biến cố H1 và H2 độc lập nên P(AB) = P(H1) . P(H2).
Lại có P(H1) = P(H2) = . Từ đó P(AB) = (0,8)2.
Do đó, P(E) = P(A) + P(B) – P(AB) = (0,9)2 + (0,9)2 – (0,8)2 = 0,98.
Vậy xác suất để trong hai quả cầu được lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5 là 0,98.
Câu 16:
22/07/2024Trong đợt kiểm tra cuối học kì II lớp 11 của các trường trung học phổ thông, thống kê cho thấy có 93% học sinh tỉnh X đạt yêu cầu; 87% học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X và một học sinh của tỉnh Y. Giả thiết rằng chất lượng học tập của hai tỉnh là độc lập. Tính xác suất để:
a) Cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu;
Xác suất để học sinh tỉnh X không đạt yêu cầu là 100% – 93% = 7% = 0,07.
Xác suất để học sinh tỉnh Y không đạt yêu cầu là 100% – 87% = 13% = 0,13.
Gọi A là biến cố: “Học sinh tỉnh X đạt yêu cầu”.
B là biến cố: “Học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu”.
Khi đó ta có P(A) = 0,93; P(B) = 0,87; .
a) Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu là:
P(AB) = P(A) . P(B) = 0,93 . 0,87 = 0,8091.
Câu 17:
04/07/2024b) Cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu;
b) Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu là:
= 0,07 . 0,13 = 0,0091.
Câu 18:
17/07/2024c) Chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu;
c) Xác suất để chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu là:
= 0,93 . 0,13 + 0,07 . 0,87 = 0,1818.
Câu 19:
10/07/2024d) Có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu.
d) Xác suất để có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu là:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,93 + 0,87 – 0,8091 = 0,9909.