Trang chủ Lớp 11 Toán Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc

Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc

Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc

  • 109 lượt thi

  • 38 câu hỏi

  • 0 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

22/07/2024

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy hai đường thẳng a, a' cùng vuông góc với (P), hai đường thẳng b, b' cùng vuông góc với (Q). Tìm mối quan hệ giữa các góc (a, b) và (a', b').

: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy hai đường thẳng a, a' cùng vuông góc với (P), hai đường thẳng b, b' cùng vuông góc với (Q). Tìm mối quan hệ giữa các góc (a, b) và (a', b'). (ảnh 1)
Xem đáp án

Vì a ^ (P) và a' ^ (P) nên a và a' trùng nhau hoặc song song với nhau.

Vì b ^ (Q) và b' ^ (Q) nên b và b' trùng nhau hoặc song song với nhau.

Do đó (a, b) = (a', b').


Câu 2:

23/07/2024

Góc giữa hai mặt phẳng bằng 0° khi nào, khác 0° khi nào?

Xem đáp án

Xét a ^ (P) và b ^ (Q).

Khi đó (a, b) là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 0° tức (a, b) = 0° khi a và b song song hoặc trùng nhau hay (P) và (Q) song song hoặc trùng nhau.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng bằng 0° khi và chỉ khi hai mặt phẳng đó song song hoặc trùng nhau.

Góc giữa hai mặt phẳng khác 0° khi hai mặt phẳng đó giao nhau.


Câu 3:

13/07/2024

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình chữ nhật có tâm O, SO ^ (ABCD). Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau khi và chỉ khi ABCD là một hình vuông.

Xem đáp án
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình chữ nhật có tâm O, SO  (ABCD). Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau khi và chỉ khi ABCD là một hình vuông. (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì SO ^ (ABCD) nên SO ^ AO và SO ^ BO mà (SAC) Ç (SBD) = SO, suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) bằng góc giữa hai đường thẳng AO và BO.

Mà (AO, BO) = AOB^ .

+) Nếu (SAC) ^ (SBD) thì AOB^=90° , khi đó AC ^ BD mà ABCD là hình chữ nhật, suy ra ABCD là hình vuông.

+) Nếu ABCD là hình vuông thì AC ^ BD, suy ra AOB^=90°  hay (SAC) ^ (SBD).


Câu 4:

22/07/2024

Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (Q). Lấy một đường thẳng a vuông góc với (P). (H.7.47).

Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (Q). Lấy một đường thẳng a vuông góc với (P). (H.7.47).  a) Tính góc giữa a và b.  b) Tính góc giữa (P) và (Q). (ảnh 1)

a) Tính góc giữa a và b.

b) Tính góc giữa (P) và (Q).

Xem đáp án

a) Vì a ^ (P) mà b Ì (P) nên a ^ b. Vậy (a, b) = 90°.

b) Vì a ^ (P) và b ^ (Q) nên góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng góc giữa hai đường thẳng a và b mà (a, b) = 90° nên góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 90°.


Câu 5:

22/07/2024

Trong HĐ1 của Bài 23, ta đã nhận ra rằng đường thẳng nối các bản lề của cửa phòng vuông góc với sàn nhà. Hãy giải thích vì sao trong quá trình đóng – mở, cánh cửa luôn vuông góc với sàn nhà.

Xem đáp án

Vì mặt phẳng cánh cửa chứa đường thẳng nối các bản lề của cửa phòng, mà đường thẳng nối các bản lề của cửa phòng vuông góc với sàn nhà nên mặt phẳng cánh cửa chứa đường thẳng nối các bản lề của cửa phòng luôn vuông góc với sàn nhà. Do đó trong quá trình đóng – mở, cánh cửa luôn vuông góc với sàn nhà.


Câu 6:

18/07/2024

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Kẻ đường thẳng a thuộc (P) và vuông góc với giao tuyến D của (P) và (Q). Gọi O là giao điểm của a và D. Trong mặt phẳng (Q), gọi b là đường thẳng vuông góc với D tại O.

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Kẻ đường thẳng a thuộc (P) và vuông góc với giao tuyến D của (P) và (Q). Gọi O là giao điểm của a và D. Trong mặt phẳng (Q), gọi b là đường thẳng vuông góc với D tại O.  a) Tính góc giữa a và b.  b) Tìm mối quan hệ giữa a và (Q). (ảnh 1)

a) Tính góc giữa a và b.

b) Tìm mối quan hệ giữa a và (Q).

Xem đáp án

a) Vì a ^ D và b ^ D mà (P) Ç (Q) = D nên góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng góc giữa hai đường thẳng a và b.

Mà góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 90° nên (a, b) = 90°.

b) Vì (a, b) = 90° nên a ^ b.

Có abaΔbΔ=Oa(Q)  .


Câu 7:

19/07/2024

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến a và cùng vuông góc với mặt phẳng (R). Gọi O là một điểm thuộc a và a' là đường thẳng qua O và vuông góc với (R).

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến a và cùng vuông góc với mặt phẳng (R). Gọi O là một điểm thuộc a và a' là đường thẳng qua O và vuông góc với (R).   a) Hỏi a' có nằm trong các mặt phẳng (P), (Q) hay không? (ảnh 1)

a) Hỏi a' có nằm trong các mặt phẳng (P), (Q) hay không?

Xem đáp án

a) Vì (P) ^ (R) và a' là đường thẳng qua O thuộc (P) mà a' ^ (R) nên a' thuộc (P) hay a' nằm trong mặt phẳng (P).

Vì (Q) ^ (R) và a' là đường thẳng qua O thuộc (Q) mà a' ^ (R) nên a' thuộc (Q) hay a' nằm trong mặt phẳng (Q).


Câu 8:

22/07/2024

b) Tìm mối quan hệ giữa a và a'.

c) Tìm mối quan hệ giữa a và (R).

Xem đáp án

b) Vì a' nằm trong hai mặt phẳng (P) và (Q) nên a' là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Lại có theo đề hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến a nên a và a' trùng nhau.

c) Vì a' ^ (R) mà a và a' trùng nhau nên a ^ (R).


Câu 9:

22/07/2024

Với giả thiết như ở Ví dụ 3, Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA ^ (ABCD). Gọi B', C', D' tương ứng là hình chiếu của A trên SB, SC, SD. Chứng minh rằng:

a) Các mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) cùng vuông góc với (SAC);

Xem đáp án
Với giả thiết như ở Ví dụ 3, Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA  (ABCD). Gọi B', C', D' tương ứng là hình chiếu của A trên SB, SC, SD. Chứng minh rằng: a) Các mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) cùng vuông góc với (SAC); (ảnh 1)

a) Vì B', C', D' tương ứng là hình chiếu của A trên SB, SC, SD nên AB' ^ SB, AC' ^ SC, AD' ^ SD.

Vì SA ^ (ABCD) nên SA ^ BC, SA ^ CD.

Do ABCD là hình chữ nhật nên BC ^ AB, CD ^ AD.

Vì SA ^ BC và BC ^ AB nên BC ^ (SAB), suy ra (SBC) ^ (SAB).

Vì SBC(SAB)=SBSBC(SAB)AB'(SAB)AB'SBAB'(SBC)  .

Vì SA ^ CD và CD ^ AD nên CD ^ (SAD), suy ra (SCD) ^ (SAD).

Vì  SCDSADSCDSAD=SDAD'(SAD)AD'SDAD'(SCD).

AB'SC  AD'SC  nên SC ^ (AB'C'D') mà SC Ì (SAC) nên (SAC) ^ (AB'C'D').

Vì SA ^ (ABCD) mà SA Ì (SAC) nên (SAC) ^ (ABCD).


Câu 12:

19/07/2024

b) Nếu thiết kế theo hướng dẫn đó thì góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số đo từ bao nhiêu đến bao nhiêu độ?

Xem đáp án

b) Vì Ox ^ a, Oy ^ a nên nếu thiết kế theo hướng dẫn đó thì góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế là góc tạo bởi hai đường thẳng tương ứng chứa Ox và Oy.

Vì 100°xOy^105°  nên góc giữa hai đường thẳng tương ứng chứa Ox và Oy có thể nhận số đo từ 75° đến 80°.

Vậy góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số đo từ 75° đến 80°.


Câu 13:

22/07/2024

Cho hình chóp S.ABC có SA ^ (ABC), AB = AC = a, BAC^=120°,SA=a23 . Gọi M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng SMA^  là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].

Xem đáp án
Cho hình chóp S.ABC có SA ^ (ABC), AB = AC = a,BAC= 120 độ, SA= a /2căn3   . Gọi M là trung điểm của BC.  a) Chứng minh rằng góc SAM là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A]. (ảnh 1)

a) Xét tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A mà AM là trung tuyến nên AM là đường cao hay AM ^ BC.

Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ BC mà AM ^ BC, suy ra BC ^ (SAM), do đó BC ^ SM.

Vì AM ^ BC và BC ^ SM nên là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].


Câu 14:

17/07/2024

b) Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].

Xem đáp án

b) Áp dụng định lí Côsin cho tam giác ABC, có:

BC2=AB2+AC22ABACcosBAC^=a2+a22aacos120°.

=2a2+2a212=3a2BC=a3

Vì M là trung điểm của BC nên BM=MC=a32  .

Xét tam giác AMB vuông tại M, có AM=AB2BM2=a23a24=a2

Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ AM.

Xét tam giác SAM vuông tại A, có: tanSMA^=SAAM=a23a2=13SMA^=30° .

Vậy số đo của góc nhị diện [S, BC, A] bằng 30°.


Câu 15:

22/07/2024
Trong cửa sổ ở Hình 7.56, cánh và khung cửa là các nửa hình tròn có đường kính 80 cm, bản lề được đính ở điểm chính giữa O của các cung tròn khung và cánh cửa. Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau và cách nhau một khoảng d; khi cửa đóng, hai đường kính đó trùng nhau. Hãy tính số đo của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa khi d = 40 cm. (ảnh 1)

Trong cửa sổ ở Hình 7.56, cánh và khung cửa là các nửa hình tròn có đường kính 80 cm, bản lề được đính ở điểm chính giữa O của các cung tròn khung và cánh cửa. Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau và cách nhau một khoảng d; khi cửa đóng, hai đường kính đó trùng nhau. Hãy tính số đo của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa khi d = 40 cm.

Xem đáp án
Trong cửa sổ ở Hình 7.56, cánh và khung cửa là các nửa hình tròn có đường kính 80 cm, bản lề được đính ở điểm chính giữa O của các cung tròn khung và cánh cửa. Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau và cách nhau một khoảng d; khi cửa đóng, hai đường kính đó trùng nhau. Hãy tính số đo của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa khi d = 40 cm. (ảnh 2)

Gọi I, J lần lượt là tâm của nửa hình tròn khung cửa và nửa hình tròn cánh cửa. Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau, do đó chúng cũng song song với giao tuyến m (qua O) của hai mặt phẳng tương ứng chứa khung và cánh cửa.

Vì O là điểm chính giữa của các cung tròn khung cửa và cánh cửa nên OI vuông góc với đường kính khung cửa, OJ vuông góc với đường kính cánh cửa. Vậy OI, OJ cùng vuông góc với m. Do đó  là một góc phẳng nhị diện của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh và khung cửa.

Vì m ^ OI, m ^ OJ nên m ^ (OIJ) m ^ IJ.

Vậy IJ cũng vuông góc với các đường kính cánh cửa và khung cửa. Do đó IJ = 40 cm.

Mặt khác OI = OJ = 80 : 2 = 40 cm, suy ra tam giác OIJ đều và IOJ^=60°  .

Vậy để khoảng cách d giữa đường kính cánh cửa và đường kính khung cửa bằng 40 cm thì góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh và khung cửa có số đo là 60°.


Câu 16:

22/07/2024

Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình gì và các mặt bên đó có vuông góc với mặt đáy không? Vì sao?

Xem đáp án

Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành.

Mặt khác, hình lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Do đó hình lăng trụ đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật.

Vì các cạnh bên vuông góc với đáy nên mặt bên cũng vuông góc với mặt đáy.


Câu 17:

22/07/2024

Các mặt bên của hình lăng trụ đều có phải là các hình chữ nhật có cùng kích thước hay không? Vì sao?

Xem đáp án

Hình lăng trụ đều trước hết là hình lăng trụ đứng nên các mặt bên của nó là các hình chữ nhật.

Mặt khác, các cạnh đáy của lăng trụ đều bằng nhau và các cạnh bên của một lăng trụ luôn bằng nhau. Do đó các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật có cùng kích thước.


Câu 18:

22/07/2024

Trong 6 mặt của hình hộp đứng, có ít nhất bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? Vì sao?

Xem đáp án

Hình hộp đứng là một trường hợp đặc biệt của hình lăng trụ đứng, có 4 mặt bên là các hình chữ nhật, còn hai đáy là hai hình bình hành. Do đó hình hộp đứng có ít nhất 4 mặt là hình chữ nhật, đó là các mặt bên.


Câu 19:

14/07/2024

a) Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? Vì sao?

b) Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường hay không? Vì sao?

Xem đáp án

a) Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng nên nó có các mặt bên là các hình chữ nhật. Hơn nữa, hai đáy của hình hộp chữ nhật là hai hình chữ nhật. Do đó hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật.

b) Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Bởi vì, cứ hai đường chéo bất kì của hình hộp chữ nhật đều xác định nằm trong một hình chữ nhật và là hai đường chéo của hình chữ nhật đó.


Câu 20:

23/07/2024

Các mặt của một hình lập phương là các hình gì? Vì sao?

Xem đáp án

Hình lập phương trước hết là hình hộp chữ nhật nên các mặt đều là hình chữ nhật.

Hơn nữa, nó có tất cả các cạnh bằng nhau nên các mặt là hình vuông.

Vậy các mặt của hình lập phương là hình vuông.


Câu 21:

18/07/2024

Từ một tấm tôn hình chữ nhật, tại 4 góc bác Hùng cắt bỏ đi 4 hình vuông có cùng kích thước và sau đó hàn gắn các mép tại các góc như Hình 7.65. Giải thích vì sao bằng cách đó, bác Hùng nhận được chiếc thùng không nắp có dạng hình hộp chữ nhật.

Từ một tấm tôn hình chữ nhật, tại 4 góc bác Hùng cắt bỏ đi 4 hình vuông có cùng kích thước và sau đó hàn gắn các mép tại các góc như Hình 7.65. Giải thích vì sao bằng cách đó, bác Hùng nhận được chiếc thùng không nắp có dạng hình hộp chữ nhật. (ảnh 1)
Xem đáp án

Chiếc thùng có đáy và các mặt bên là các hình chữ nhật. Do đó miệng thùng cũng là hình chữ nhật (có các cạnh tương ứng song song và bằng cạnh đáy) thuộc mặt phẳng song song với đáy.

Vì các cạnh bên song song với nhau nên thùng là một hình lăng trụ. Mặt khác, mỗi cạnh bên của thùng đều vuông góc với đáy (vì nó vuông góc với hai cạnh kề của đáy). Do đó thùng là lăng trụ đứng, hơn nữa, có đáy là hình chữ nhật nên thùng có dạng hình hộp chữ nhật.


Câu 22:

22/07/2024
Xem đáp án
Tháp lớn tại Bảo tàng Louvre ở Paris (H.7.66) (với kết cấu kính và kim loại) có dạng  hình chóp với đáy là hình vuông có cạnh bằng 34 m, các cạnh bên bằng nhau và có độ dài xấp xỉ 32,3 m (theo Wikipedia.org). Giải thích vì sao hình chiếu của đỉnh trên đáy là tâm của đáy tháp. (ảnh 2)

Giả sử tháp có dạng hình chóp S.ABCD với đáy là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Theo đề có: AB = BC = CD = DA = 34 m, SA = SB = SC = SD » 32,3 m.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt đáy nên SO ^ (ABCD).

Xét tam giác SOB vuông tại O nên OB=SB2SO2 ;

Xét tam giác SOD vuông tại O nên OD=SD2SO2  ;

Xét tam giác SOA vuông tại O nên OA=SA2SO2  ;

Xét tam giác SOC vuông tại O nên OC=SC2SO2 .

Mà SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = OD hay O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD, do đó O là tâm của hình vuông.


Câu 23:

18/07/2024

Cho hình chóp S.A1A2An . Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng A1A2An   (H.7.67).

a) Trong trường hợp hình chóp đã cho là đều, vị trí của điểm O có gì đặc biệt đối với đa giác đều A1A2An  ?

Xem đáp án

a) Do S.A1A2An  là hình chóp đều nên SA1 = SA2 = … = SAn

Vì O là hình chiếu của S trên mặt phẳng A1A2An  nên SO A1A2An .

Xét tam giác SOA1 vuông tại O, có OA1=SA12SO2  ,

Xét tam giác SOA2 vuông tại O, có OA2=SA22SO2  ,

…..

Xét tam giác SOAn vuông tại O, có OAn=SAn2SO2  .

Mà SA1 = SA2 = … = SAn nên OA1 = OA2 = … = OAn hay O là tâm đa giác đều A1A2An .


Câu 24:

21/07/2024

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a512 . Tính số đo góc nhị diện [S, BC, A].

Xem đáp án
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a căn 5/12 . Tính số đo góc nhị diện [S, BC, A]. (ảnh 1)

Gọi G là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Gọi AG cắt BC tại D mà ABC là tam giác đều nên AD ^ BC.

Mà SG ^ (ABC) nên SG ^ BC.

Vì AD ^ BC và SG ^ BC nên BC ^ (SAD), suy ra BC ^ SD.

Vì AD ^ BC và BC ^ SD nên SDA^  là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, BC, A].

Vì ABC là tam giác đều cạnh a, AD là đường cao nên AD=a32 .

Suy ra DG=13AD=13a32=a36 .

Xét tam giác ABC có AD là trung tuyến nên D là trung điểm của BC, do đó BD=DC=BC2=a2 .

Xét tam giác SBD vuông tại D có SD=SB2BD2=5a212a24=a6 .

Xét tam giác SGD vuông tại G có cosSDA^=cosSDG^=GDSD=a36a6=22

SDG^=45°.

Vậy số đo góc nhị diện [S, BC, A] là 45°.


Câu 25:

22/07/2024

Hình chóp cụt đều có các cạnh bên bằng nhau hay không?

Xem đáp án
Hình chóp cụt đều có các cạnh bên bằng nhau hay không? (ảnh 1)

Hình chóp cụt đều có các cạnh bên bằng nhau vì:

A1B1 = SA1 – SB1; A2B2 = SA2 – SB2; …; AnBn = SAn – SBn.

Dựa vào kết quả của hoạt động 13, ta có: SA1 = SA2 = … = SAn và SB1 = SB2 = …= SBn nên A1B1 = A2B2 = AnBn.


Câu 26:

16/07/2024

Cho hình chóp S.ABC có SA ^ (ABC). Gọi H là hình chiếu của A trên BC.

a) Chứng minh rằng (SAB) ^ (ABC) và (SAH) ^ (SBC).

Xem đáp án
Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC). Gọi H là hình chiếu của A trên BC. a) Chứng minh rằng (SAB)  (ABC) và (SAH)  (SBC). (ảnh 1)

a) Vì SA ^ (ABC) nên (SAB) ^ (ABC).

Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ BC.

Vì H là hình chiếu của A trên BC nên AH ^ BC.

Vì SA ^ BC và AH ^ BC nên BC ^ (SAH), suy ra (SAH) ^ (SBC).


Câu 27:

23/07/2024

b) Giả sử tam giác ABC vuông tại A, ABC^=30°  , AC = a, SA=a32. Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].

Xem đáp án

b) Vì BC ^ (SAH) nên BC ^ SH mà AH ^ BC nên SHA^  là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, BC, A].

Xét tam giác ABC vuông tại A, ABC^=30° , AC = a có: tanABC^=ACAB

AB=ACtanABC^=atan30°=a3.

Xét tam giác ABC vuông tại A, có 1AH2=1AB2+1AC2=13a2+1a2=43a2

AH=a32.

Vì SA ^ (ABC) nên SA ^ AH.

Xét tam giác SAH vuông tại A có: tanSHA^=SAAH=a32a32=1SHA^=45°  .

Vậy số đo của góc nhị diện [S, BC, A] bằng 45°.


Câu 28:

21/07/2024

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.

a) Tính độ dài đường chéo của hình lập phương.

Xem đáp án
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. a) Tính độ dài đường chéo của hình lập phương. (ảnh 1)

a) Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên có các mặt là hình vuông.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC=AB2+BC2=a2+a2=a2  .

Vì AA' ^ (ABCD) nên AA' ^ AC.

Xét tam giác A'AC vuông tại A, có A'C=AA'2+AC2=a2+2a2=a3  .

Vậy đường chéo của hình lập phương có độ dài là a3  .


Câu 29:

22/07/2024

b) Chứng minh rằng (ACC'A') ^ (BDD'B').

Xem đáp án

b) Vì AA' ^ (ABCD) nên AA' ^ BD.

Vì ABCD là hình vuông nên AC ^ BD mà AA' ^ BD, suy ra BD ^ (ACC'A').

Vì BD ^ (ACC'A') nên (ACC'A') ^ (BDD'B').


Câu 30:

15/07/2024

c) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Chứng minh rằng COC'^  là một góc phẳng của góc nhị diện [C, BD, C']. Tính (gần đúng) số đo của các góc nhị diện [C, BD, C'], [A, BD,C'].

Xem đáp án

c) Vì BD ^ (ACC'A') nên BD ^ C'O mà CO ^ BD (do AC ^ BD) nên là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [C, BD, C'].

Do ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC, suy ra AO=OC=AC2=a22  .

Xét tam giác C'CO vuông tại C, có tanC'OC^=CC'CO=aa22=2C'OC^55°  .

Vậy số đo của các góc nhị diện [C, BD, C'] khoảng 55°.

Vì AO ^ BD (do AC ^ BD), BD ^ C'O nên AOC'^  là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, BD,C'].

Vì AOC'^+C'OC^=180°  nên AOC'^=180°C'OC^180°55°=125°  .

Vậy số đo góc nhị diện [A, BD,C'] khoảng 125°.


Câu 31:

23/07/2024

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'.

a) Chứng minh rằng (BDD'B') ^ (ABCD).

b) Xác định hình chiếu của AC' trên mặt phẳng (ABCD).

Xem đáp án
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. a) Chứng minh rằng (BDD'B')  (ABCD). b) Xác định hình chiếu của AC' trên mặt phẳng (ABCD). (ảnh 1)

a) Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật nên BB' ^ (ABCD).

Suy ra (BDD'B') ^ (ABCD).

b) Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật nên CC' ^ (ABCD), suy ra C là hình chiếu của C' trên mặt phẳng (ABCD).

A là hình chiếu của A trên mặt phẳng (ABCD). Do đó AC là hình chiếu của AC' trên mặt phẳng (ABCD).


Câu 32:

22/07/2024

c) Cho AB = a, BC = b, CC' = c. Tính AC'.

Xem đáp án

c) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC2=AB2+BC2=a2+b2  .

Vì CC' ^ (ABCD) nên CC' ^ AC.

Xét tam giác C'CA vuông tại C, có AC'=AC2+CC'2=a2+b2+c2  .

Vậy AC'=a2+b2+c2  .


Câu 33:

20/07/2024

Cho hình chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b.

a) Tính sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.

Xem đáp án
Cho hình chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b. a) Tính sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy. (ảnh 1)

a) Gọi G là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

Vì S.ABC đều nên G là tâm của tam giác ABC hay G là trọng tâm đồng thời G cũng là trực tâm của tam giác ABC.

Gọi a là góc tạo bởi cạnh bên SA và mặt phẳng đáy (ABC).

Vì SG ^ (ABC) nên GA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABC).

Khi đó góc giữa cạnh bên SA và mặt phẳng đáy (ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng SA và AG. Mà (SA, AG) =  SAG^=α.

Kẻ AG cắt BC tại D, khi đó D là trung điểm của BC, AD ^ BC.

Xét tam giác ABC đều cạnh a, AD là đường cao nên AD=a32 .

Suy ra AG=23AD=23a32=a33

giác SGA vuông tại G, có SG=SA2AG2=b2a23 .

sinSAG^=SGSA=b2a23b=3b2a23b2=1a23b2.

Vậy sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 1a23b2 .


Câu 34:

18/07/2024
b) Tính tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên.
Xem đáp án

b) Gọi b là góc tạo bởi mặt phẳng (SBC) và (ABC).

Vì SG ^ (ABC) nên SG ^ BC mà AD ^ BC nên BC ^ (SAD), suy ra BC ^ SD.

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng AD và SD, mà (AD, SD) = SDA^=β  .

Vì GD=13AD=13a32=a36  .

Xét tam giác SGD vuông tại G, có

tanSDG^=SGGD=b2a23a36=363b2a29a2=43b2a2a2=23b2a2a.


Câu 35:

23/07/2024

Hai mái nhà trong Hình 7.72 là hai hình chữ nhật. Giả sử AB = 4,8 m; OA = 2,8 m; OB = 4 m.

a) Tính (gần đúng) số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà.

Xem đáp án
Hai mái nhà trong Hình 7.72 là hai hình chữ nhật. Giả sử AB = 4,8 m; OA = 2,8 m; OB = 4 m.  a) Tính (gần đúng) số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà. (ảnh 1)

a) Vì hai mái nhà trong Hình 7.72 là hai hình chữ nhật nên góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà bằng góc giữa hai đường thẳng OA và OB, mà (OA, OB) = AOB^ .

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác OAB, ta có:

cosAOB^=OA2+OB2AB22OAOB=2,82+424,8222,84=128AOB^88°.

Vậy số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà khoảng 88°.


Câu 36:

23/07/2024

b) Chứng minh rằng mặt phẳng (OAB) vuông góc với mặt đất phẳng. Lưu ý: Đường giao giữa hai mái (đường nóc) song song với mặt đất.

Xem đáp án

b) Vì đường giao giữa hai mái nhà vuông góc với OA và OB nên đường giao giữa hai mái nhà vuông góc với mặt phẳng (OAB).

Mà đường giao giữa hai mái nhà song song với mặt đất nên mặt phẳng (OAB) vuông góc với mặt đất phẳng.


Câu 37:

22/07/2024

c) Điểm A ở độ cao (so với mặt đất) hơn điểm B là 0,5 m. Tính (gần đúng) góc giữa mái nhà (chứa OB) so với mặt đất.

Xem đáp án

c) Gọi H là giao điểm của đường thẳng qua B và song song với mặt đất với đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt đất.

Khi đó góc giữa mái nhà chứa OB và mặt đất là góc OBH.

Xét tam giác AHB vuông tại H, có: sinABH^=AHAB=0,54,8=548ABH^6°  .

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác OAB có:

cosOBA^=OB2+AB2OA22OBAB=42+4,822,82244,8=1316OBA^36°.

Do đó OBH^=OBA^+ABH^36°+6°=42°  .

Vậy góc giữa mái nhà (chứa OB) so với mặt đất khoảng 42°.


Câu 38:

23/07/2024

Độ dốc của mái nhà, mặt sân, con đường thẳng là tang của góc tạo bởi mái nhà, mặt sân, con đường thẳng đó với mặt phẳng nằm ngang. Độ dốc của đường thẳng dành cho người khuyết tật được quy định là không quá  112. Hỏi theo đó, góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá bao nhiêu độ? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Xem đáp án

Gọi a là góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang.

Vì độ dốc của đường thẳng dành cho người khuyết tật được quy định là không quá 112  nên tanα112α4,76° .

Vậy góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá 4,76°.


Bắt đầu thi ngay