Lời giải:

Quan sát Hình 4.13 ta thấy:

a) Hai tuyến đường mũi tên màu đỏ và mũi tên màu vàng giao nhau.

b) Hai tuyến đường mũi tên màu xanh dương và màu xanh lá cây không giao nhau.

c) Hai tuyến đường mũi tên màu xanh dương và mũi tên màu đỏ song song.

Lời giải:

a) Hai đường thẳng AB và AC cắt nhau tại giao điểm A.

Hai đường thẳng AB và CD song song với nhau (do ABCD là hình bình hành).

Hai đường thẳng AC và CD cắt nhau tại giao điểm C.

b) Vì hai điểm M, N lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh SA, SB nên hai điểm M, N thuộc mặt phẳng (SAB) hay các điểm S, A, B, M, N cùng thuộc một mặt phẳng nên các đường thẳng SA, MN, AB đồng phẳng, do đó khi lấy bất kì 2 trong 3 đường thẳng trên thì chúng có thể cắt nhau hoặc song song hoặc trùng nhau. Vậy trong các đường thẳng SA, MN, AB, không có hai đường thẳng nào chéo nhau.

Lời giải:

a) Các đường thẳng chéo với đường thẳng SA là BC và CD.

Giải thích: Nếu hai đường thẳng SA và BC không chéo nhau thì chúng cùng thuộc một mặt phẳng. Khi đó bốn điểm S, A, B, C đồng phẳng, trái với giả thiết S.ABCD là hình chóp. Do đó, hao đường thẳng SA và BC chéo nhau. Tương tự, giải thích được hai đường thẳng SA và CD chéo nhau.

b) Các đường thẳng chéo với đường thẳng BC là SA và SD. Giải thích tương tự câu a.

Lời giải:

a) Trên mặt phẳng (P) có một và chỉ một đường thẳng đi qua M và song song với d (theo tiên đề Euclid).

b) Giả sử x là đường thẳng đi qua M và song song với d. Khi đó hai đường thẳng x và d đồng phẳng. Mà điểm M và đường thẳng d đều cùng nằm trong mặt phẳng (P) nên x và d cùng nằm trong mặt phẳng (P).

Vậy nếu một đường thẳng đi qua M và song song với d thì đường thẳng đó thuộc mặt phẳng (P).

Lời giải:

a) Vì M thuộc a nằm trong mặt phẳng (R) nên M thuộc mặt phẳng (R).

Vì M thuộc c nằm trong mặt phẳng (Q) nên M thuộc mặt phẳng (Q).

Do đó, M là một điểm chung của hai mặt phẳng (R) và (Q).

Lại có hai mặt phẳng (R) và (Q) có giao tuyến là đường thẳng b.

Vậy M thuộc b hay đường thẳng b đi qua điểm M.

b) Ta thấy ba đường thẳng phân biệt a, b, c đôi một đồng phẳng.

Do đó, nếu không có hai trong ba đường thẳng nào trong chúng cắt nhau thì a, b, c đôi một song song.

Vậy nếu hai đường thẳng a và c song song với nhau thì hai đường thẳng b và c song song với nhau.

Lời giải:

a) Mệnh đề a) là mệnh đề sai vì nếu a và b không cắt nhau thì a và b có thể song song hoặc chéo nhau.

b) Mệnh đề b) là mệnh đề đúng (theo định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau).

c) Mệnh đề c) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng a và b có thể trùng nhau.

d) Mệnh đề d) là mệnh đề sai vì a và c có thể cắt nhau hoặc chéo nhau hoặc song song hoặc trùng nhau.

Lời giải:

a) Hai đường thẳng AB và CD song song với nhau do đáy ABCD là hình bình hành.

b) Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau do đây là hai đường chéo của hình bình hành ABCD.

c) Hai đường thẳng SB và CD chéo nhau.

Thật vậy, nếu hai đường thẳng SB và CD không chéo nhau, tức là hai đường thẳng này đồng phẳng hay bốn điểm S, B, C, D đồng phẳng, trái với giả thiết S.ABCD là hình chóp.

Lời giải:

a) Hai đường thẳng AB và CD song song với nhau do đáy ABCD là hình bình hành.

b) Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau do đây là hai đường chéo của hình bình hành ABCD.

c) Hai đường thẳng SB và CD chéo nhau.

Thật vậy, nếu hai đường thẳng SB và CD không chéo nhau, tức là hai đường thẳng này đồng phẳng hay bốn điểm S, B, C, D đồng phẳng, trái với giả thiết S.ABCD là hình chóp.

Lời giải:

a) Vì M thuộc SD nằm trong mặt phẳng (SCD) nên M thuộc mặt phẳng (SCD).

Mà M thuộc mặt phẳng (MAB) nên M là điểm chung của hai mặt phẳng (MAB) và (SCD).

Lại có hai mặt phẳng (MAB) và (SCD) chứa hai đường thẳng song song AB và CD.

Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (MAB) và (SCD) là đường thẳng m đi qua M và song song với AB, CD.

b) Trong tam giác SCD, đường thẳng m đi qua điểm M và song song với CD cắt cạnh SC tại một điểm N.

Vì N thuộc m và m nằm trong mặt phẳng (MAB) nên N thuộc mặt phẳng (MAB).

Vậy N là giao điểm của đường thẳng SC và mặt phẳng (MAB).

Lời giải:

a) Vì M thuộc SD nằm trong mặt phẳng (SCD) nên M thuộc mặt phẳng (SCD).

Mà M thuộc mặt phẳng (MAB) nên M là điểm chung của hai mặt phẳng (MAB) và (SCD).

Lại có hai mặt phẳng (MAB) và (SCD) chứa hai đường thẳng song song AB và CD.

Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (MAB) và (SCD) là đường thẳng m đi qua M và song song với AB, CD.

b) Trong tam giác SCD, đường thẳng m đi qua điểm M và song song với CD cắt cạnh SC tại một điểm N.

Vì N thuộc m và m nằm trong mặt phẳng (MAB) nên N thuộc mặt phẳng (MAB).

Vậy N là giao điểm của đường thẳng SC và mặt phẳng (MAB).

Lời giải:

a) Trong tam giác ABC, gọi giao điểm của hai đường thẳng BP và AM là E.

Trong tam giác ACD, gọi giao điểm của hai đường thẳng DP và AN là F.

Vì E thuộc AM nên E thuộc mặt phẳng (AMN), vì F thuộc AN nên F thuộc mặt phẳng (AMN), do đó đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (AMN).

Vì E thuộc BP nên E thuộc mặt phẳng (BPD), vì F thuộc DP nên F thuộc mặt phẳng (BPD), do đó đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (BPD).

Vậy đường thẳng EF là giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (BPD) hay đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng EF.

b) Xét tam giác BCD có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD nên MN là đường trung bình của tam giác BCD, do đó MN // BD.

Hai mặt phẳng (AMN) và (BPD) có chứa hai đường thẳng song song là MN và BD. Do đó, giao tuyến d của hai mặt phẳng (AMN) và (BPD) song song với MN và BD.

Vậy d // BD.

Lời giải:

+) Mỗi cánh cửa ở Hình 4.29 đều có dạng hình chữ nhật nên các cạnh đối diện của mỗi cánh cửa song song với nhau.

Khi đó ta có a // b và c // d.

Lại có các đường thẳng a và d là đường thẳng giao tuyến giữa khung cửa và cánh cửa nên a // d.

Do vậy, bốn đường thẳng a, b, c, d luôn đôi một song song với nhau.

Vậy khi hai cánh cửa sổ hình chữ nhật được mở, dù ở vị trí nào, thì hai mép ngoài của chúng luôn song song với nhau.

+) Nếu hai cánh cửa sổ có dạng hình thang như Hình 4.30 thì không có vị trí nào của hai cánh cửa để hai mép ngoài của chúng song song với nhau.

Thật vậy, giả sử có một vị trí của hai cánh cửa mà hai mép ngoài của chúng song song với nhau. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng cánh cửa thì d song song với hai mép cửa. Mặt khác d cũng song song với hai bản lề (vì hai mặt phẳng cánh cửa lần lượt “chứa” hai bản lề), suy ra hai mép cửa song song với bản lề. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu. Do đó không có hai vị trí nào của hai cánh cửa để hai mép ngoài của chúng song song với nhau.