36 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Giải SGK Toán 11 CTST Bài 3. Hai mặt phẳng vuông góc

b) Thế nào là góc giữa hai mặt phẳng? Tại sao thiết bị trong Hình 2 lại có thể đo được góc giữa mặt phẳng nghiêng (Q) và mặt đất (P).

b) Thế nào là góc giữa hai mặt phẳng? Tại sao thiết bị trong Hình 2 lại có thể đo (ảnh 1)

Xem đáp án

b) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Khi đặt thiết bị lên mặt phẳng nghiêng (Q) thì OM vuông góc với mặt phẳng nghiêng (Q), ON vuông góc với mặt đất (P).

Khi đo góc giữa OM và ON chính là góc giữa (Q) và (P).

Câu 4:

06/07/2024

Từ một điểm O vẽ hai tia Ox và Oy lần lượt vuông góc với hai bức tường trong phòng. Đo góc $\hat{x O y}$ .

Từ một điểm O vẽ hai tia Ox và Oy lần lượt vuông góc với hai bức tường (ảnh 1)

Xem đáp án

Sử dụng thước êke hoặc thước đo góc, ta đo được $\hat{x O y} = 90 °$ .

Câu 5:

14/07/2024

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d, điểm M không thuộc (P) và (Q). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên (P) và (Q). Gọi là giao điểm của d và (MHK) (Hình 8).

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d, điểm M không thuộc (P) và (Q). (ảnh 1)

a) Giả sử (P) ⊥ (Q), hãy cho biết tứ giác MHOK là hình gì? Tìm trong (P) đường thẳng vuông góc với (Q).

Xem đáp án

a) Vì MH ⊥ (Q) nên MH ⊥ (OH)

MK ⊥ (Q) nên MK ⊥ OK

Mà (P) ⊥ (Q) nên HM ⊥ MK.

Tứ giác MHOK có $\hat{M H O} = \hat{M K O} = \hat{H M K} = 90 °$

Vậy tứ giác MHOK là hình chữ nhật.

Trong (P) có OH ⊥ (Q).

Câu 6:

b) Giả sử (P) chứa đường thẳng a với a ⊥ (Q), hãy cho biết tứ giác MHOK là hình gì? Tính góc giữa (P) và (Q).

Xem đáp án

b) Ta có:

$\begin{matrix} a ⊥ (Q) \\ M H ⊥ (P) \Rightarrow M H ⊥ a \end{matrix}\} \Rightarrow MH / / OK$

Lại có MH ⊥ (P) nên OK ⊥ (P) $\Rightarrow$ OK ⊥ OH

Tứ giác MHOK có $\hat{M H O} = \hat{M K O} = \hat{H O K} = 90 °$

Vậy tứ giác MHOK là hình chữ nhật.

((P), (Q)) = (MH, MK) = $\hat{H M K} = 90 °$

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau và đáy là hình vuông. Chứng minh rằng:

a) (SAC) ⊥ (ABCD) .

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau và đáy là hình vuông. Chứng minh rằng: (ảnh 1)

a) Gọi O = AC $\cap$ BD

• ΔSAC cân tại S nên SO ⊥ AC (1)

• ΔSBD cân tại S $\cap$ SO ⊥ BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra SO ⊥ (ABCD)

Ta có:

$\begin{matrix} S O ⊥ (A B C D) \\ S O \subset (S A C) \end{matrix}\} \Rightarrow (SAC) ⊥ (ABCD)$ .

Câu 8:

15/07/2024

b) (SAC) ⊥ (SBD).

Xem đáp án

b) Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD.

Mà SO ⊥ AC nên AC ⊥ (SBD).

Ta lại có: AC $\subset (S A C)$

Do đó (SAC) ⊥ (SBD).

Câu 9:

Mô tả cách kiểm tra một bức tường vuông góc với mặt sàn bằng hai cái êke trong Hình 10.

Xem đáp án

Đặt êke sao cho hai cạnh góc vuông của hai êke chạm nhau tạo thành một đường thẳng, hai cạnh còn lại của hai êke sát với mặt sàn.

Nếu đường thẳng đó nằm sát với bức tường thì bức tường vuông góc với mặt sàn.

Câu 10:

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q). Mặt phẳng (P) chứa a và cắt (Q) theo giao tuyến c. Trong (Q) ta vẽ đường thẳng b vuông góc với c. Hỏi:

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q). Mặt phẳng (P) chứa a và cắt (Q) theo giao tuyến (ảnh 1)

a) (P) có vuông góc với (Q) không?

Xem đáp án

a) Ta có:

$\begin{matrix} a ⊥ (Q) \\ a \subset (P) \end{matrix}\} \Rightarrow (P) ⊥ (Q)$

Câu 11:

b) Đường thẳng b vuông góc với (P) không?

Xem đáp án

b) Ta có:

$\begin{array}{l} \begin{matrix} a ⊥ (Q) \\ b \subset (Q) \end{matrix}\} \Rightarrow a ⊥ b \\ b ⊥ c \\ a, c \subset (P) \end{array}\} \Rightarrow b ⊥ (P)$

Câu 12:

19/07/2024

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R). Gọi a là giao tuyến của (P) và (Q). Lấy điểm M trong (R), vẽ hai đường thẳng MH và MK lần lượt vuông góc với (P) và (Q). Hỏi:

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R). Gọi a là giao tuyến của (ảnh 1)

a) Hai đường thẳng MH và MK có nằm trong (R) không?

Xem đáp án

a) Ta có:

$\begin{matrix} M \in (R) \\ \begin{array}{l} M H ⊥ (P) \\ (R) ⊥ (P) \end{array} \end{matrix}\} \Rightarrow M H \subset (R)$

$\begin{matrix} M \in (R) \\ \begin{array}{l} M K ⊥ (P) \\ (R) ⊥ (P) \end{array} \end{matrix}\} \Rightarrow M K \subset (R)$

Vậy hai đường thẳng MH và MK có nằm trong (R).

Câu 13:

b) Đường thẳng a có vuông góc với (R) không?

Xem đáp án

b) Ta có:

$\begin{matrix} M H ⊥ (P) \Rightarrow MH ⊥ a \\ \begin{array}{l} M K ⊥ (Q) \Rightarrow M K ⊥ a \\ M H, M K \subset (R) \end{array} \end{matrix}\} \Rightarrow a ⊥ (R)$

Câu 14:

Tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD). Trong tam giác BCD vẽ đường cao BE và DF cắt nhau tại O. Trong mặt phẳng (ACD) vẽ DK vuông góc với AC tại K. Gọi H là trực tâm của tam giác ACD. Chứng minh rằng:

Tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD). Trong tam giác BCD vẽ đường cao BE và DF (ảnh 1)

a) (ADC) ⊥ (ABE) và (ADC) ⊥ (DFK).

Xem đáp án

Tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD). Trong tam giác BCD vẽ đường cao BE và DF (ảnh 2)

Câu 15:

b) OH ⊥ (ADC).

Xem đáp án

b)

Ta có:

$\begin{array}{l} (A D C) ⊥ (A B E) \\ (A D C) ⊥ (D F K) \\ (A B E) \cap (D F K) = O H \end{array}\} \Rightarrow O H ⊥ (A D C)$ .

Câu 16:

Nêu cách đặt một quyển sách lên mặt bàn sao cho tất cả các trang sách đều vuông góc với mặt bàn.

Xem đáp án

Ta mở quyển sách ra và đặt quyển sách lên mặt bàn sao cho hai mép dưới của bìa sách nằm trên mặt bàn.

Câu 17:

07/07/2024

a) Cho hình lăng trụ ABCDE.A′B′C′D′E′ có cạnh bên AA′ vuông góc với một mặt phẳng đáy (Hình 18a). Có nhận xét gì về các mặt bên của hình lăng trụ này ?

b) Cho hình lăng trụ có đáy là đa giác đều và có cạnh bên vuông góc với một mặt phẳng đáy (Hình 18b). Có nhận xét gì các mặt bên của hình lăng trụ này?

c) Một hình lăng trụ có đáy là hình bình hành và có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy (Hình 18c) thì có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật?

d) Một hình hộp nếu có đáy là hình chữ nhật và có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy (Hình 18d) thì có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật?

a) Cho hình lăng trụ ABCDE.A′B′C′D′E′ có cạnh bên AA′ vuông góc với một mặt phẳng (ảnh 1)

Xem đáp án

a) Các mặt bên của hình lăng trụ này là hình chữ nhật vuông góc với mặt phẳng đáy.

b) Các mặt bên của hình lăng trụ này là hình chữ nhật vuông góc với mặt phẳng đáy.

c) Hình lăng trụ đó có 4 mặt bên là hình chữ nhật.

d) Hình lăng trụ đó có cả 6 mặt là hình chữ nhật.

Câu 18:

Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A′B′C′D′E′F′ có cạnh bên bằng h và cạnh đáy bằng a. Tính A′C và A′D theo a và h.

Xem đáp án

Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A′B′C′D′E′F′ có cạnh bên bằng h và cạnh đáy bằng a. Tính A′C và A′D theo a và h. (ảnh 1)

Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A′B′C′D′E′F′ có cạnh bên bằng h và cạnh đáy bằng a. Tính A′C và A′D theo a và h. (ảnh 2)

Câu 19:

10/07/2024

Một chiếc lồng đèn kéo quân có dạng hình lăng trụ lục giác đều với cạnh đáy bằng 10 cm và cạnh bên bằng 30 cm (Hình 20). Tính tổng diện tích các mặt bên của chiếc lồng đèn đó.

Một chiếc lồng đèn kéo quân có dạng hình lăng trụ lục giác đều với cạnh đáy bằng 10 cm (ảnh 1)

Xem đáp án

Diện tích một mặt bên của lồng đèn là:

10.30 = 300 (cm²)

Tổng diện tích các mặt bên của chiếc lồng đèn đó là:

300.6 = 1800 (cm²)

Câu 20:

20/07/2024

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với tâm O và các cạnh bên của hình chóp bằng nhau (Hình 21). Đường thẳng SO có vuông góc với đáy không?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với tâm O và các cạnh bên của (ảnh 1)

Xem đáp án

Vì ΔSAC cân tại S nên SO ⊥ AC (1)

Vì ΔSBD cân tại S nên SO ⊥ BD (2)

Từ (1) và (2), suy ra SO ⊥ (ABCD)

Câu 21:

08/07/2024

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là tâm của đáy và AB = a, SA = 2a. Tính SO theo a.

Xem đáp án

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều $\Rightarrow$ SO ⊥ (ABCD)

$\Rightarrow$ SO ⊥ OA.

Ta có: ABCD là hình vuông $\Rightarrow AC = \sqrt{2 A B^{2}} = a \sqrt{2} \Rightarrow AO = \frac{1}{2} A C = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác SOA vuông tại O:

$S O = \sqrt{S A^{2} - A O^{2}} = \frac{a \sqrt{14}}{2}$ (theo định lí Pytago)

Vậy $S O = \frac{a \sqrt{14}}{2}$

Câu 22:

Cho biết kim tự tháp Khafre tại Ai Cập có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao khoảng 136m và cạnh đáy dài khoảng 152m. Tính độ dài đường cao của mặt bên xuất phát từ đỉnh của kim tự tháp.

(nguồn:https://vi.wikipedia.org/wiki/ Kim_tự_tháp_Khafre)

Cho biết kim tự tháp Khafre tại Ai Cập có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao khoảng 136m (ảnh 1)

Xem đáp án

Mô hình hoá hình ảnh kim tự tháp bằng hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là tâm của đáy.

Kẻ SH ⊥ CD(H $\in$ CD)

Ta có: SO = 136 m , AD = 152 m

Tam giác SCD cân tại S

$\Rightarrow$ SH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác SCD

$\Rightarrow$ H là trung điểm của CD.

Mà O là trung điểm của AD.

$\Rightarrow$ OH là đường trung bình của tam giác ACD

$\Rightarrow O H = \frac{1}{2} A D = 76 (m)$

Ta có: SO ⊥ (ABCD) $\Rightarrow$ SO ⊥ OH

⇒ ΔSOH vuông tại O.

⇒ $S H = \sqrt{S O^{2} + O H^{2}} = \sqrt{136^{2} + 76^{2}} \approx 155, 8 (m)$

Vậy độ dài đường cao của mặt bên xuất phát từ đỉnh của kim tự tháp khoảng 155,8 m.

Câu 23:

20/07/2024

Cho hình chóp đều S.A₁A₂...A₆. Mặt phẳng (P) song song với mặt đáy và cắt các cạnh bên lần lượt tại A′₁A′₂...A′₆.

Cho hình chóp đều S.A1A2...A6. Mặt phẳng (P) song song với mặt đáy và cắt các cạnh bên lần lượt tại A′1A′2...A′6. (ảnh 1)

a) Đa giác A′₁A′₂...A′₆ có phái lục giác đều không? Giải thích.

Xem đáp án

a) Ta có: (P) // (A₁A₂A₃...A₆)

Do đó A₁′A₂′ // A₁A₂; A₂′A₃′ // A₂A₃; A₃′A₄′ // A₃A₄;

A4′A5′ // A₄A₅; A₅′A₆′ // A₅A₆; A₆′A₁′ // A₆A₁

Khi đó $\frac{{A^{'}}_{1} {A^{'}}_{2}}{A_{1} A_{2}} = \frac{{A^{'}}_{2} {A^{'}}_{3}}{A_{2} A_{3}} = \frac{{A^{'}}_{3} {A^{'}}_{4}}{A_{3} A_{4}} = \frac{{A^{'}}_{4} {A^{'}}_{5}}{A_{4} A_{5}} = \frac{{A^{'}}_{5} {A^{'}}_{6}}{A_{5} A_{6}} = \frac{{A^{'}}_{6} {A^{'}}_{1}}{A_{6} A_{1}}$ .

Mà A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄= A₄A₅= A₅A₆= A₆A₁

$\Rightarrow$ A₁′A₂′ = A₂′A₃′ = A₃′A₄′ = A₄′A₅′ = A₅′A₆′ = A₆′A₁′

Vậy đa giác A′₁A′₂...A′₆ là lục giác đều.

Câu 24:

06/07/2024

b) Gọi O và O′ lần lượt là tâm của hai lục giác A₁A₂...A₆ và A′₁A′₂...A′₆. Đường thẳng OO′ có vuông góc với mặt đáy không?

Xem đáp án

b) Ta có:

$\begin{matrix} \in {A^{'}}_{1} {A^{'}}_{4} \subset (S A_{1} A_{4}) \\ \in {A^{'}}_{3} {A^{'}}_{6} \subset (S A_{3} A_{6}) \\ (S A_{1} A_{4}) \cap (S A_{3} A_{6}) = S O \end{matrix}\} \Rightarrow O^{'} \in S O$

Mà S.A₁A₂...A₆là hình chóp đều nên SO ⊥ (A₁A₂...A₆).

Vậy OO′ ⊥ (A₁A₂...A₆).

Câu 25:

14/07/2024

Cho hình chóp cụt tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy lớn bằng a, cạnh đáy nhỏ $\frac{a}{2}$ và cạnh bên 2a. Tính độ dài đường cao của hình chóp cụt đó.

Xem đáp án

Cho hình chóp cụt tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy lớn bằng a, cạnh đáy (ảnh 1)

Gọi O, O′ lần lượt là tâm của hai đáy ABC và A′B′C′; M, M′ lần lượt là trung điểm của BC và B′C′.

Kẻ A′H ⊥ AO (H $\in$ AO).

Khi đó, ta có A′H = OO′.

• ΔABC đều nên $A M = \frac{\frac{a}{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{4} \Rightarrow A O = \frac{2}{3} A M = \frac{a \sqrt{3}}{6}$ .

• ΔA′B′C′ đều nên $A' M' = \frac{\frac{a}{2} . \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{4} \Rightarrow A^{'} O^{'} = \frac{2}{3} A^{'} M' = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

• A′HOO′ là hình chữ nhật nên $O H = A' O' = \frac{a \sqrt{3}}{6} \Rightarrow A H = A O - O H = \frac{a \sqrt{3}}{6}$ .

• Tam giác AA′H vuông tại H nên $O O^{'} = A^{'} H = \sqrt{A A^{' 2} - A H^{2}} = \frac{a \sqrt{141}}{6}$ .

Câu 26:

19/07/2024

Một người cần sơn tất cả các mặt của một cái bục để đặt tượng có dạng hình chóp cụt lục giác đều có cạnh đáy lớn 1 m, cạnh bên và cạnh đáy nhỏ bằng 0,7 m. Tính tổng diện tích cần sơn.

Một người cần sơn tất cả các mặt của một cái bục để đặt tượng có dạng hình (ảnh 1)

Xem đáp án

Một người cần sơn tất cả các mặt của một cái bục để đặt tượng có dạng hình (ảnh 2)

Câu 27:

08/07/2024

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).

a) Chứng minh rằng (SBC) ⊥ (SAC).

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều (ảnh 1)

a) Ta có (SAC) ⊥ (ABC) $\Rightarrow$ AC ⊥ (ABC) $\Rightarrow$ AC ⊥ BC

Mà (SAC) $\cap$ (ABC) = AC nên BC ⊥ (SAC)

Do đó (SBC) ⊥ (SAC).

Câu 28:

b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh rằng (ABI) ⊥ (SAC).

Xem đáp án

b) Ta có: BC ⊥ (SAC) nên BC ⊥ AI (AI $\subset$ (SAC)) (1)

Tam giác SAC đều có I là trung điểm của SC nên AI ⊥ SC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AI ⊥ (SBC)

Mà AI $\subset$ (ABI) nên (ABI) ⊥ (SAC)

Câu 29:

Cho tam giác đều ABC cạnh a, I trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I. Vẽ đoạn thẳng SD có độ dài $\frac{a \sqrt{6}}{2}$ và vuông góc với (ABC). Chứng minh rằng:

a) (SBC) ⊥ (SAD);

Xem đáp án

Cho tam giác đều ABC cạnh a, I trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I. (ảnh 1)

Câu 30:

b) (SAB) ⊥ (SAC).

Xem đáp án

Câu 31:

09/07/2024

Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AA′ = 2a, AD = 2a, AB = BC = a.

a) Tính độ dài đoạn thẳng AC′.

Xem đáp án

Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AA′ = 2a, AD = 2a, AB = BC = a. (ảnh 1)

Câu 32:

b) Tính tổng diện tích các mặt của hình lăng trụ.

Xem đáp án

b) Tính tổng diện tích các mặt của hình lăng trụ. (ảnh 1)

Câu 33:

11/07/2024

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình thoi. Cho biết AB = BD = a, A′C = 2a.

a) Tính độ dài đoạn thẳng AA′.

Xem đáp án

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình thoi. Cho biết AB = BD = a, A′C = 2a. (ảnh 1)

Câu 34: