Lời giải

Ta có thửa ruộng thấp nhất có độ cao u₁ = 1 250 m so với mực nước biển.

Thửa ruộng  ở bậc thứ hai cao hơn so với mực nước biển là: u₂ = 1 250 + 1,2 (m).

Thửa ruộng ở bậc thứ ba cao hơn so với mực nước biển là: u₃ = 1 250 + 1,2 + 1,2 = 1 250 + 2.1,2 (m).

...

Lời giải

a) Năm số hạng đầu của cấp số cộng theo u₁ và d là:

u₁; u₂ = u₁ + d; u₃ = u₁ + 2d, u₄ = u₁ + 3d, u₅ = u₁ + 4d.

Lời giải

a) Ta có: u₁ + u_n = u₁ + u₁ + (n – 1)d = 2u₁ + (n – 1)d;

u₂ + u_n-1­ = u₁ + d + u₁ + (n – 1 – 1)d = 2u₁ + (n – 1)d;

u₃ + u_n-2 = u₁ + 2d + u₁ + (n – 2 – 1)d = 2u₁ + (n – 1)d;

...

u_n + u₁ = u₁ + (n – 1)d + u₁ = 2u₁ + (n – 1)d.

Ta thấy u₁ + u_n = u₂ + u_n-1­ = u₃ + u_n-2 = ... = u_n + u₁.

b) Ta có: 2S_n = 2.(u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_n) = (u₁ + u_n) + (u₂ + u_n-1) + ... + (u_n + u₁)

= 2u₁ + (n – 1)d + 2u₁ + (n – 1)d + 2u₁ + (n – 1)d + ... + 2u₁ + (n – 1)d

= 2n.u₁ + n(n – 1)d

= n(u₁ + u₁ + (n – 1)d)

= n(u₁ + u_n).

Lời giải

a) Ta có: 3; 1; – 1; ... là cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 3 và công sai d = 1 – 3 = – 2.

Khi đó u₁₀ = 3 + (10 – 1).(– 2) = 3 + (– 18) = – 15.  

Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số cộng là:

S₁₀ = \(\frac{{10\left[ {3 + \left( { - 15} \right)} \right]}}{2} = - 60\).

b) 1,2; 1,7; 2,2; ... với n = 15.

Ta có: 1,2; 1,7; 2,2; ... là cấp số cộng với số hạng ban đầu u₁ = 1,2 và công sai d = 1,7 – 1,2 = 0,5.

Khi đó u₁₅ = 1,2 + (15 – 1).0,5 = 8,2.

Tổng của 15 số hạng đầu của cấp số cộng là:

S₁₅ = \(\frac{{15\left[ {1,2 + 8,2} \right]}}{2} = 70,5\).

Lời giải

a) Ta có: 10; – 2; – 14; – 26; – 38 là cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 10 và công sai của cấp số cộng là: d = – 12.

b) Ta có: \(\frac{1}{2};\,\,\frac{5}{4};\,\,2;\,\,\frac{{11}}{4};\,\,\frac{7}{2}\) là cấp số cộng có số hạng đầu là u₁ = \(\frac{1}{2}\) và công sai d = \(\frac{3}{4}\).

c) Ta có: 1²; 2²; 3²; 4²; 5² không là cấp số cộng vì 2² – 1² ≠ 3² – 2².

Lời giải

a) Ta có: u_n+1 = 3 – 2(n + 1) = 3 – 2n – 2 = 1 – 2n

Suy ra u_n+1 – u_n = 1 – 2n – 3 + 3n = – 2.

Vì vậy đây là một cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 1 và công sai d = – 2.

b) Ta có: u_n+1 = \(\frac{{3\left( {n + 1} \right) + 7}}{5} = \frac{{3n + 10}}{5}\)

Xét hiệu u_n+1 – u_n = \(\frac{{3n + 10}}{5} - \frac{{3n + 7}}{5} = \frac{3}{5}\)

Vì vậy đây là một cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công sai \(d = \frac{3}{5}\).

c) Ta có: u_n+1 = 3ⁿ⁺¹ = 3.3ⁿ

Xét hiệu u_n+1 – u_n = 3.3ⁿ – 3ⁿ = 2.3ⁿ với n ∈ ℕ*

Lời giải

a) Ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) là: u₁ = – 3 + (n – 1).5 = 5n – 8.

b) Xét u_n = 492

⇔ 5n – 8 = 492

⇔ n = 100.

Vậy số 492 là số hạng thứ 100 của cấp số cộng trên.

c) Xét u_n = 300

⇔ 5n – 8 = 300

⇔ n = 61,6 ∉ ℕ*

Vậy không tồn tại số hạng trong cấp số cộng bằng 300.

Lời giải

a) Ta có: u₁ + u₂ + u₃ = – 1

⇒ u₁ + u₁ + d + u₁ + 2d = – 1

⇒ 3u₁ + 3d = – 1

Mà u₁ = \(\frac{1}{3}\) nên d = \( - \frac{2}{3}\)

Khi đó công thức tổng quát của cấp số cộng là: u_n = \(\frac{1}{3} - \frac{2}{3}\left( {n - 1} \right) = - \frac{2}{3}n + \frac{1}{3}\) với mọi n ∈ ℕ*.

b) Xét u_n = \( - \frac{2}{3}n + \frac{1}{3} = - 67\)

\( \Leftrightarrow - \frac{2}{3}n = \frac{{ - 202}}{3}\)

\( \Leftrightarrow n = 101\)

Vậy số – 67 là số hạng thứ 101 của dãy.

c) Xét u_n = 7

\( \Leftrightarrow - \frac{2}{3}n + \frac{1}{3} = 7\)

\( \Leftrightarrow - \frac{2}{3}n = \frac{{20}}{3}\)

⇔ n = – 10 ∉ ℕ*

Vậy số 7 không phải là một số hạng trong cấp số cộng.  

Lời giải

a) Chiều cao 3 năm tuổi của một đứa bé phát triển bình thường là:

x₃ = 75 + 5(3 – 1) = 85 (cm).

b) Ta có: x_n+1 = 75 + 5(n + 1 – 1) = 75 + 5n

Xét hiệu x_n+1 – x_n = 75 + 5n – [75 + 5(n – 1)] = 5

Do đó (x_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu x₁ = 75 và công sai d = 5    

Lời giải

+) Theo phương án 1: Gọi (u_n) là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 1 qua mỗi năm. Dãy số (u_n) lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 120 và công sai d = 18.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = 120 + (n – 1).18.

+) Theo phương án 2: Gọi (v_n) là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 2 qua từng quý. Dãy số (v_n) lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu v₁ = 24 và công sai d = 1,8.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là v_n = 24 + (n – 1).1,8.

a) Khi kí hợp đồng 3 năm tương đương với 12 quý ta có:

+) Theo phương án 1: u₃ = 120 + (3 – 1).18 = 156 (triệu đồng)

Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm là:

\({S_3} = \frac{{3.\left( {120 + 156} \right)}}{2} = 414\) (triệu đồng).

+) Theo phương án 2: u₁₂ = 24 + (12 – 1).1,8 = 43,8.

Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm tương ứng với 12 quý là:

\({S_{12}} = \frac{{12.\left( {24 + 43,8} \right)}}{2} = 406,8\) (triệu đồng).

Vậy nếu được tuyển dụng vào doanh nghiệp và kí hợp đồng lao động 3 năm thì nên theo phương án 1.

b) Khi kí hợp đồng 10 năm tương đương với 40 quý ta có:

+) Theo phương án 1: u₁₀ = 120 + (10 – 1).18 = 282 (triệu đồng)

Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm là:

\({S_{10}} = \frac{{10.\left( {120 + 282} \right)}}{2} = 2\,010\) (triệu đồng).

+) Theo phương án 2: u₄₀ = 24 + (40 – 1).1,8 = 94,2.

Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm tương ứng với 40 quý là:

\({S_{12}} = \frac{{40.\left( {24 + 94,2} \right)}}{2} = 2\,\,364\) (triệu đồng).