Sau khi học xong bài này, ta giải quyết được bài toán này như sau:

Xác suất nếu người chơi chọn phương án 1:

Gọi T là phép thử: “Gieo một xúc xắc cân đối, đồng chất”;

E là biến cố: “Xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”.

Xét phép thử lặp với n = 12 và .

Gọi B là biến cố: “Người chơi thắng”.

B cũng là biến cố: “Trong phép thử lặp T, với n = 12, biến cố E xuất hiện ít nhất hai lần”.

Xét biến cố đối : “Trong phép thử lặp T, biến cố E xuất hiện nhiều nhất một lần”.

Ta có . Theo quy tắc cộng xác suất và công thức bernoulli, ta có:

.

Do đó P(B) = 1 – 0,3813 = 0,6187.

Xác suất nếu người chơi chọn phương án 2:

Gọi T là phép thử: “Gieo một xúc xắc cân đối, đồng chất”;

E là biến cố: “Xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”.

Xét phép thử lặp với n = 6 và .

Gọi B là biến cố: “Người chơi thắng”.

B cũng là biến cố: “Trong phép thử lặp T, với n = 6, biến cố E xuất hiện ít nhất một lần”.

Xét biến cố đối : “Trong phép thử lặp T, biến cố E không xuất hiện”.

Khi đó .

Do đó .

Ta thấy người chơi nên chọn theo phương án 2 thì xác suất thắng cao hơn.

Phép thử T được lặp lại 12 lần.

Người chơi thắng khi biến cố E xuất hiện ít nhất 2 lần.

Phép thử T được lặp lại 6 lần.

Người chơi thắng khi biến cố E xuất hiện ít nhất 1 lần.

Xác suất để An thắng trận đấu là xác suất để An thắng ít nhất hai ván đấu.

Gọi biến cố A: “An thắng trận đấu đó”.

Trường hợp 1: An thắng cả ba ván đấu

Khi đó ta có P1 = 0,43 = 0,064.

Trường hợp 2: An thắng 2 ván đấu.

Khi đó ta có: .

Vậy P(A) = P1 + P2 = 0,064 + 0,288 = 0,352.

Gọi T là phép thử: “Gieo một xúc xắc cân đối, đồng chất”;

E là biến cố: “Xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”.

Xét phép thử lặp với n = 6 và .

Gọi B là biến cố: “Người chơi thắng”.

B cũng là biến cố: “Trong phép thử lặp T, với n = 6, biến cố E xuất hiện ít nhất một lần”.

Xét biến cố đối : “Trong phép thử lặp T, biến cố E không xuất hiện”.

Khi đó .

Do đó .

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Gọi X là số câu trả lời đúng của An.

X là một biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số n = 10; .

Số điểm trung bình là E(X).

Vậy trung bình An nhận được số điểm trung bình là:

E(X) = np = điểm.

An vượt qua bài thi khi làm đúng ít nhất 5 câu tức là khi X ≥ 5.

Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có:

Từ đó tính được xác suất vượt qua bài thi của An xấp xỉ là 7,81%.

Vận dụng công thức Bernoulli, ta có:

P(X = 0) = (1 – p)n.

P(X = 1) .

P(X = 2) .

….

P(X = k) .

….

P(X = n) .

Gọi X là số câu trả lời đúng của An.

X là một biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số n = 10; .

Số điểm trung bình là E(X).

Vậy trung bình An nhận được số điểm trung bình là:

E(X) = np = điểm.

b) An vượt qua bài thi khi làm đúng ít nhất 5 câu tức là khi X ≥ 5.

Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có:

Từ đó tính được xác suất vượt qua bài thi của An xấp xỉ là 7,81%.

X là số linh kiện không đạt tiêu chuẩn.

X là một biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số n = 10; p = 0,01.

Hộp được xếp loại I nếu hộp đó có nhiều nhất một linh kiện không đạt tiêu chuẩn tức là X ≤ 1.

Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có:

.

Vậy tỉ lệ những hộp linh kiện điện tử loại I là 99,6%.

Gọi X là số câu trả lời đúng của thí sinh.

X là một biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số n = 10; .

Thí sinh đạt 15 điểm thì có 5 câu trả lời đúng và 5 câu trả lời sai tức là X = 5.

Khi đó xác suất là .

Thí sinh bị điểm âm tức là thí sinh trả lời đúng nhiều nhất 1 câu tức là X ≤ 1.

Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có:

.

Xác suất để một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm là .

Gọi X là số con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm.

Bác Hưng thắng cuộc 1 ván khi X ≥ 2.

Xác suất để bác Hưng thắng cuộc 1 ván là: .

Gọi Y là số ván thắng của bác Hưng.

Xác suất để bác Hưng thắng ít nhất 2 ván là

.

Ta vẽ sơ đồ hình cây để mô tả các kết quả có thể của kiểu gene ứng với màu hạt của cây con.

X là số cây con có hạt màu vàng trong số 4 cây con.

X là một biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức n = 4; .

Giá trị của X thuộc tập {0; 1; 2; 3; 4}.

Ta có P(X = 0) = ;

;

;

;

.

Bảng phân bố xác suất của X

 Gọi Y là số cây con có hạt màu xanh.

Khi đó Y là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số n = 4; .

Trung bình có E(Y) = cây con có hạt màu xanh.

X là số bóng sáng.

X là một biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số n = 6; .

Lớp học đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng sáng tức là X ≥ 4.

Khi đó .

E(X) = ;

;

.

X là số trận thắng của Sơn.

X là biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất nhị thức với tham số n = 5; .

Sơn thắng Tùng trong trận đấu tức là X ≥ 3.

Ta có

Thùng cam đạt xếp loại I nếu X = 0.

P1 = P(X = 0) = 0,9720 ≈ 0,5438.

Thùng cam đạt xếp loại II nếu X = 1 hoặc X = 2.

Khi đó P2 = P(X = 1) + P(X = 2) =

Thùng cam không đạt chất lượng nếu X ≥ 3.

Khi đó P(X ≥ 3) = 1 – P1 – P2 = 1 – 0,5438 – 0,4352 = 0,021.