Lời giải

Đáp án đúng là: C

Đáp án C sai vì hai tam giác đồng dạng khi có hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ và một cặp góc tạo bởi hai cạnh tương ứng bằng nhau thì đồng dạng với nhau.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Vì 1² + 1² = 2 ≠ \({\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^2}\) nên bộ ba số 1 cm, 1 cm, \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\) cm không là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

Lời giải

a)

Tam giác ABC có: DE song song với BC nên ∆ADE ᔕ ∆ABC.

Do đó, \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}\) hay AD = \(\frac{{AB \cdot AE}}{{AC}}\) (1).

Tam giác ADC có: FE song song với DC nên ∆AFE ᔕ ∆ADC.

Do đó, \(\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}}\), hay AD = \(\frac{{AF \cdot AC}}{{AE}}\) (2).

Từ (1) và (2) ta có: \(A{D^2} = \frac{{AB \cdot AE}}{{AC}} \cdot \frac{{AF \cdot AC}}{{AE}} = AB \cdot AF\).

b) Theo câu a có \(\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}}\) và AD = AC (gt), suy ra AE = AF.

Lại có \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}\) nên \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AC}}\) (do AC = AD và AE = AF).

Xét tam giác ACF và tam giác ABC có:

\(\widehat A\) chung

\(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\) (chứng minh trên)

Do đó, ∆ACF ᔕ ∆ABC (c.g.c).

Lời giải

a)

Tam giác FBD và tam giác CED cùng vuông tại D có:

\(\widehat F = \widehat C\,\,\,\,\,\left( { = 90^\circ - \widehat B} \right)\).

Do đó, ∆BDF ᔕ ∆EDC (góc nhọn).

b)

Tam giác ABC vuông tại A và tam giác DEC vuông tại D có:

\(\widehat C\) chung

Do đó, ∆ABC ᔕ ∆DEC (góc nhọn). Suy ra \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DC}}\).

Vì AD là phân giác của góc BAC trong tam giác ABC nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).

Suy ra \(\frac{{AC}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BD}}\).

Do đó \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AB}}{{BD}}\). Suy ra BD = DE.

Lời giải

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25 nên BC = 5 cm.

Tam giác ABC vuông tại A và tam giác HAC vuông tại H có:

\(\widehat C\) chung

Do đó, ∆ABC ᔕ ∆HAC (góc nhọn).

Suy ra \(\frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{BC}}{{AC}}\) nên \(CH = \frac{{C{A^2}}}{{CB}} = \frac{{{4^2}}}{5} = \frac{{16}}{5}\) (cm).

Do đó, BH = BC – CH = 5 – \(\frac{{16}}{5}\) = \(\frac{9}{5}\) (cm).

Vì ∆ABC ᔕ ∆HAC (cmt) nên \(\frac{{AB}}{{HA}} = \frac{{BC}}{{AC}}\)

Do đó, \[AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{3 \cdot 4}}{5} = \frac{{12}}{5}\] (cm).

b)

Vì HM vuông góc AB, suy ra \(\widehat {HMA} = 90^\circ \).

HN vuông góc với AC, suy ra \(\widehat {HNA} = 90^\circ \).

Tứ giác ANHM có: \(\widehat {HMA} = \widehat {NAM} = \widehat {HNA} = 90^\circ \) nên tứ giác ANHM là hình chữ nhật.

Do đó, \(\widehat {NHM} = 90^\circ \).

Gọi D là giao điểm của hai đường chéo trong hình chữ nhật NHMA nên DH = DM. Do đó, tam giác DHM cân tại D.

Suy ra: \(\widehat {DHM} = \widehat {DMH}\)

Lại có: \(\widehat {DHM} = \widehat B\,\,\,\left( { = 90^\circ - \widehat {MHB}} \right)\) nên \(\widehat {DMH} = \widehat B\).

Xét tam giác HMN vuông tại H và tam giác ABC vuông tại A có:

\(\widehat {NMH} = \widehat B\) (do \(\widehat {DMH} = \widehat B\))

Do đó, ∆HMN ᔕ ∆ABC (góc nhọn).

Lời giải

a) Tam giác CAH có P, M lần lượt là trung điểm của CH, AH nên MP là đường trung bình của tam giác ACH, suy ra \(\frac{{MP}}{{AC}} = \frac{1}{2}\).

Tam giác BAH có N, M lần lượt là trung điểm của BH, AH nên MN là đường trung bình của tam giác ABH, suy ra \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{2}\).

Ta có \(\frac{{PN}}{{CB}} = \frac{{PH + HN}}{{CH + HB}} = \frac{{PH + HN}}{{2\left( {PH + HN} \right)}} = \frac{1}{2}\) (do N, P lần lượt là trung điểm của HB, HC).

Tam giác MNP và tam giác ABC có:

\(\frac{{MP}}{{AC}} = \frac{{PN}}{{CB}} = \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{2}\).

Nên ∆MNP ᔕ ∆ABC (c.c.c) với tỉ số đồng dạng bằng \(\frac{1}{2}\).

b)

Tam giác ABH vuông tại H và tam giác HAC vuông tại H có:

\(\widehat {ABH} = \widehat {CAH}\,\,\,\,\left( { = 90^\circ - \widehat {ACH}} \right)\)

Do đó, ∆HBA ᔕ ∆HAC (góc nhọn).

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{2BN}}{{2MA}} = \frac{{BN}}{{MA}}\).

Tam giác ABN và tam giác CAM có:

\(\widehat {ABN} = \widehat {CAM}\) (cmt)

\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{MA}}\) (cmt)

Do đó, ∆ABN ᔕ ∆CAM (c.g.c).

Vì ∆HBA ᔕ ∆HAC (cmt). Suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{2AM}}{{2CP}} = \frac{{AM}}{{CP}}\).

Xét tam giác ACP và tam giác BAM có:

\(\widehat {ACP} = \widehat {MAB}\,\,\,\,\,\left( { = 90^\circ - \widehat {CAH}} \right)\)

\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AM}}{{CP}}\) (cmt)

Do đó, ∆ACP ᔕ ∆BAM (c.g.c).

c)

+ Vì MN là đường trung bình trong tam giác AHB nên MN song song với AB.

Mà AB vuông góc với AC nên MN vuông góc với AC.

Trong tam giác CAN có MN vuông góc với AC nên MN là đường cao trong tam giác CAN, mà AH là đường cao trong tam giác CAN và M là giao điểm của MN và AH nên M là trực tâm của tam giác CAN. Vậy CM vuông góc với AN.

+ Vì MP là đường trung bình trong tam giác CAH nên MP song song với AC.

Mà AB vuông góc với AC nên MP vuông góc với AB.

Trong tam giác PAB có MP vuông góc với AB nên MP là đường cao trong tam giác PAB, mà AH là đường cao trong tam giác PAB và M là giao điểm của MP và AH nên M là trực tâm của tam giác PAB. Vậy AP vuông góc với BM.