Đáp án đúng là: C

Trong ∆ABC có E và F lần lượt là trung điểm của AB, AC nên EF là đường trung bình của ∆ABC.

Suy ra $MN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 13=\mathrm{6,5}$ (cm) (tính chất đường trung bình của tam giác).

Đáp án đúng là: A

Ta có $\widehat{ADE}=\widehat{ABC}$, mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DE // BC

Trong ∆ABC có DE // BC, theo Định lí Thalès ta có: $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$ 

Hay $\frac{12}{18}=\frac{AE}{30}$ nên $AE=\frac{12\cdot 30}{18}=20$.

Vậy x = AE = 20.

Đáp án đúng là: D

Trong ∆ABC có M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC nên MN là đường trung bình của ∆ABC

Suy ra $MN=\frac{1}{2}AB$ (tính chất đường trung bình trong tam giác). (1)

Trong ∆BGC có I là trung điểm của BG, K là trung điểm của BC nên IK là đường trung bình của ∆BGC

Suy ra $IK=\frac{1}{2}BC$ (tính chất đường trung bình trong tam giác). (2)

Mà tam giác ABC cân tại B nên BA = BC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra MN = IK.

Đáp án đúng là: C

Qua O kẻ OM // AB // CD (M ∈ AD).

Xét DADC có OM // CD, theo định lí Thalès ta có $\frac{OA}{OC}=\frac{MA}{MD};\frac{AO}{AC}=\frac{AM}{AD}$

Xét DABD có OM // AB, theo định lí Thalès ta có $\frac{OB}{OD}=\frac{MA}{MD};\frac{BO}{BD}=\frac{AM}{AD}$

Suy ra $\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{MA}{MD}\left(*\right)$ và $\frac{AO}{AC}=\frac{BO}{BD}=\frac{AM}{AD}$

Do đó khẳng định (1) là sai và khẳng định (3) là đúng.

Từ (*) suy ra OA.OD = OB.OC. Do đó khẳng định (2) đúng.

Vậy có 2 khẳng định đúng.

Đáp án đúng là: D

Xét ∆ABC có DE // AC, theo Định lí Thalès ta có $\frac{BD}{DA}=\frac{BE}{EC}$ 

Hay $\frac{5}{2}=\frac{BE}{\mathrm{2,5}}$, suy ra $BE=\frac{5\cdot \mathrm{2,5}}{2}=\mathrm{6,25.}$

Vậy x = 6,25.

Đáp án đúng là: C

Vì BD, CE là các đường trung tuyến của ∆ABC nên D là trung điểm của AC, E là trung điểm của AB.

• Trong ∆ABG có: E là trung điểm của AB, I là trung điểm của GB nên EI là đường trung bình của ∆ABG

Suy ra $EI=\frac{1}{2}AG$ (tính chất đường trung bình trong tam giác)

Do đó $EI=\frac{1}{2}\cdot 4=2$(cm).

• Trong ∆ACG có: D là trung điểm của AC, K là trung điểm của GC nên DK là đường trung bình của ∆ACG

Suy ra $DK=\frac{1}{2}AG$ (tính chất đường trung bình trong tam giác)

Do đó $DK=\frac{1}{2}\cdot 4=2$(cm).

Vậy EI = DK = 2 cm.

Đáp án đúng là: C

Ta có AB = AD + BD = 3 + 6 = 9

Do ED ⊥ AB, AC ⊥ AB nên DE // AC

Trong ∆ABC có DE // AC nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{BD}{BA}=\frac{BE}{BC}$ 

Suy ra $BE=\frac{BD\cdot BC}{BA}=\frac{6\cdot \mathrm{13,5}}{9}=9$ hay 3x = 9

Vậy x = 9 : 3 = 3.

Đáp án đúng là: D

Trong ∆ABC có AD là phân giác của góc A nên $\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}$ (tính chất đường phân giác của tam giác)

Hay $\frac{3}{AC}=\frac{4}{6}$, suy ra $AC=\frac{3\cdot 6}{4}=\mathrm{4,5}$ (cm).

Đáp án đúng là: B

Trong ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên MN là đường trung bình của ∆ABC

Suy ra $MN=\frac{1}{2}BC$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Hay $MN=\frac{1}{2}\cdot 3=\mathrm{1,5}$ (cm)

Do ∆ABC đều nên AB = AC

Lại có M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên $BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC=CN$

Hay $BM=CN=\frac{1}{2}\cdot 3=\mathrm{1,5}$ (cm).

Vậy chu vi của tứ giác BMNC là:

BM + MN + NC + BC = 1,5 + 1,5 + 1,5 + 3 = 7,5 (cm).

Đáp án đúng là: B

Ta có: BC2 = 102 = 100, AB2 + BC2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100

Suy ra BC2 = AB2 + BC2

Do đó, ∆ABC vuông tại A (định lý Pythagore đảo).

Trong ∆ABC có:

• H, I lần lượt là trung điểm của AB và BC nên HI là đường trung bình của ∆ABC;

Suy ra HI // AC và $HI=\frac{1}{2}AC$ (tính chất đường trung bình trong tam giác)

Hay $HI=\frac{1}{2}\cdot 8=4$ (cm).

• I, K lần lượt là trung điểm của BC và AC nên IK là đường trung bình của ∆ABC

Suy ra IK // AB và $IK=\frac{1}{2}AB$ (tính chất đường trung bình trong tam giác)

Hay $IK=\frac{1}{2}\cdot 6=3$ (cm).

Ta có ∆ABC vuông tại A nên AB ⊥ AC, mà HI // AC nên AB ⊥ HI

Lại có IK // AB nên HI ⊥ IK tại I

Tứ giác AHIK có: $\widehat{HAK}=\widehat{IHA}=\widehat{IKA}=90°$ nên AHIK là hình chữ nhật.

Chu vi của tứ giác AHIK bằng: 2.(IH + IK) = 2.(4 + 3) = 14 (cm).

Đáp án đúng là: C

Do ABCD là hình thoi nên AC là phân giác của góc A

Trong ∆ABM có AE là phân giác của góc $\widehat{BAM}$ nên $\frac{EM}{EB}=\frac{AM}{AB}$ (tính chất đường phân giác trong tam giác)

Mà M là trung điểm của AD nên $AM=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}AB$ (do ABCD là hình thoi nên AB = AD)

Suy ra $\frac{EM}{EB}=\frac{\frac{1}{2}AB}{AB}=\frac{1}{2}$.