Trong tứ giác ABCD, ta có: \(\widehat {DAB} + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \).

Do đó: \(\widehat {DAB} = 360^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C + \widehat D} \right) = 360^\circ - \left( {120^\circ + 80^\circ + 50^\circ } \right) = 110^\circ \).

Ta có: \(\widehat {DAB} + x = 180^\circ \) (hai góc kề bù).

Suy ra \(x = 180^\circ - \widehat {DAB} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).

Ta có: \(\widehat {GHI} + 65^\circ = 180^\circ \) (hai góc kề bù).

Suy ra \(\widehat {GHI} = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \).

Trong tứ giác GHIK, ta có: \(\widehat G + \widehat {GHI} + \widehat I + \widehat K = 360^\circ \).

Do đó: 90° + 115° + 90° + y = 360°

Hay y + 295° = 360°.

Suy ra y = 65°.

Ta có: \(\widehat {MNP} + 60^\circ = 180^\circ \) (hai góc kề bù). Suy ra \(\widehat {MNP} = 120^\circ \).

Ta cũng có: \(\widehat {NPQ} + 130^\circ = 180^\circ \) (hai góc kề bù). Suy ra \(\widehat {NPQ} = 50^\circ \).

Trong tứ giác MNPQ, ta có: \(\widehat M + \widehat {MNP} + \widehat {NPQ} + \widehat Q = 360^\circ \).

Do đó: 90° + 120° + 50° + z = 360°

Hay z + 260° = 360°.

Suy ra z = 100°.

Trong tứ giác ABCD, ta có: \(\widehat {DAB} + \widehat {ABC} + \widehat {BCD} + \widehat {CDA} = 360^\circ \).

Ta có: \(\widehat {DAB} + \widehat {{A_1}} = \widehat {ABC} + \widehat {{B_1}} = \widehat {BCD} + \widehat {{C_1}} = \widehat {CDA} + \widehat {{D_1}} = 180^\circ \) (các cặp góc kề bù).

Suy ra:

\(\left( {180^\circ - \widehat {{A_1}}} \right) + \left( {180^\circ - \widehat {{B_1}}} \right) + \left( {180^\circ - \widehat {{C_1}}} \right) + \left( {180^\circ - \widehat {{D_1}}} \right) = 360^\circ \)

Hay \[720^\circ - \left( {\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} + \widehat {{D_1}}} \right) = 360^\circ \].

Do đó \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} + \widehat {{D_1}} = 360^\circ \).

Vậy \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} + \widehat {{D_1}} = 360^\circ \).

Trong tam giác ABC, ta có: \(\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {BCA} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BAC} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {BCA}} \right) = 180^\circ - \left( {135^\circ + 25^\circ } \right) = 20^\circ \).

Do AB // CD nên \(\widehat {ACD} = \widehat {BAC} = 20^\circ \) (hai góc so le trong).

Trong tam giác ACD, ta có: \(\widehat {ADC} + \widehat {ACD} + \widehat {DAC} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {DAC} = 180^\circ - \left( {\widehat {ADC} + \widehat {ACD}} \right) = 180^\circ - \left( {70^\circ - 20^\circ } \right) = 90^\circ \).

Vậy \(\widehat {DAC} = 90^\circ \).

Trong tứ giác GHIK, ta có: \(\widehat {KGH} + \widehat H + \widehat I + \widehat K = 360^\circ \)

Suy ra \(\widehat H = 360^\circ - \left( {\widehat {KGH} + \widehat I + \widehat K} \right) = 360^\circ - \left( {90^\circ + 65^\circ + 90^\circ } \right) = 115^\circ \).

Trong tam giác GHE, ta có: \(\widehat H + \widehat {HGE} + \widehat {HEG} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {HEG} = 180^\circ - \left( {\widehat {HGE} + \widehat H} \right) = 180^\circ - \left( {25^\circ + 115^\circ } \right) = 40^\circ \).

Mà \(\widehat {HEG} + \widehat {GEI} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {GEI} = 180^\circ - \widehat {HEG} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \).

Vậy \(\widehat {GEI} = 140^\circ \).

Trong tứ giác MNPQ, ta có: \(\widehat Q + \widehat {QMN} + \widehat N + \widehat {NPQ} = 360^\circ \)

 Suy ra \(\widehat {NPQ} = 360^\circ - \left( {\widehat {QMN} + \widehat N + \widehat Q} \right) = 360^\circ - \left( {110^\circ + 120^\circ + 60^\circ } \right) = 70^\circ \).

Do PM là tia phân giác của góc NPQ nên ta có:

\(\widehat {NPM} = \widehat {MPQ} = \frac{{\widehat {NPQ}}}{2} = \frac{{70^\circ }}{2} = 35^\circ \).

Trong tam giác MPQ, ta có: \(\widehat Q + \widehat {QMP} + \widehat {MPQ} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {QMP} = 180^\circ - \left( {\widehat {MPQ} + \widehat Q} \right) = 180^\circ - \left( {35^\circ + 60^\circ } \right) = 85^\circ \).

Vậy \(\widehat {NPM} = \widehat {MPQ} = 35^\circ \), \(\widehat {QMP} = 85^\circ \).

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Xét ∆ABC và ∆ADC có:

AB = AD, BC = CD, cạnh AC chung

Do đó ∆ABC = ∆ADC (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\) (hai góc tương ứng).

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Cách 1:

Do AB = AD nên A nằm trên đường trung trực của BD

Do CB = CD nên C nằm trên đường trung trực của BD

Do đó AC là đường trung trực của BD

Suy ra AC ⊥ BD.

Cách 2:

Do ∆ABC = ∆ADC (chứng minh câu a) nên \(\widehat {BAO} = \widehat {DAO}\).

Xét ∆ABO và ∆ADO có:

AB = AD;

\(\widehat {BAO} = \widehat {DAO}\) (chứng minh trên);

Cạnh AO chung

Do đó ∆ABO = ∆ADO (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {AOB} = \widehat {AOD}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {AOB} + \widehat {AOD} = 180^\circ \) (kề bù) nên \(\widehat {AOB} = \widehat {AOD} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \).

Vậy AC ⊥ BD.