Tứ giác ADME có MD // AE, ME // AD nên ADME là hình bình hành.

Suy ra AD = ME và AE = DM.

Do đó chu vi hình bình hành ADME là:

AD + DM + ME + EA = 2(AE + ME).

Do AB = AC nên tam giác ABC cân tại A. Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\).

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {EMC}\) (hai góc đồng vị do ME // AB), suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {EMC}\).

Do đó, tam giác ECM cân tại E. Suy ra ME = CE.

Vậy chu vi của hình bình hành ADME là:

2(AE + ME) = 2(AE + CE) = 2AC = 6 cm.

Do BD và CE là trung tuyến của ∆ABC

Suy ra, E là trung điểm AB và D là trung điểm AC.

Tứ giác AHBC có E là trung điểm AB và CH nên AHBC là hình bình hành.

Tứ giác ABCK có D là trung điểm AC và BK nên ABCK là hình bình hành.

Do ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AB = CD; \(\widehat A = \widehat C\) và \(\widehat {ABC} = \widehat {CDA}\).

Mà AE = CF, AE + ED = AD, BF + CF = BC

Suy ra DE = BF.

Tương tự, ta cũng có AM = CN.

Xét ∆AEM và ∆CFN có:

AM = CN, \(\widehat A = \widehat C\), AE = CF

Do đó ∆AEM và ∆CFN (c.g.c). Suy ra EM = FN (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆BFM và ∆DEN có:

BF = DE, \(\widehat {ABC} = \widehat {CDA}\), BM = DN

Do đó ∆BFM = ∆DEN (c.g.c). Suy ra FM = EN.

Tứ giác EMFN có EM = FN và FM = EN nên EMFN là hình bình hành.

Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AD = BC, \(\widehat B = \widehat D\).

Vì AB // CD nên \(\widehat {BKC} = \widehat {DCK} = 90^\circ \) (hai góc so le trong).

Suy ra tam giác BCK vuông tại K. Do đó \(\widehat B + \widehat {BCK} = 90^\circ \)

Mà \(\widehat B = \widehat D\), suy ra \(\widehat D + \widehat {BCK} = 90^\circ \).

Mặt khác, ta có \(\widehat {ECP} + \widehat {BCK} = \widehat {BCE} = 90^\circ \) nên \(\widehat D = \widehat {ECP}\).

Xét ∆ACD và ∆EPC có:

AD = EC (vì cùng bằng BC); \(\widehat D = \widehat {ECP}\); CD = PC.

Do đó ∆ACD = ∆EPC (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {ACD} = \widehat {EPC}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {ACD} + \widehat {PCH} = \widehat {DCP} = 90^\circ \), suy ra \(\widehat {HPC} + \widehat {PCH} = 90^\circ \).

Xét tam giác CPH, ta có: \(\widehat {CHP} + \widehat {HPC} + \widehat {PCH} = 180^\circ \).

Suy ra \(\widehat {CHP} + 90^\circ = 180^\circ \) hay \(\widehat {CHP} = 90^\circ \).

Vậy \(AC \bot EP\).

*Phương pháp giải:

 Nắm vững kiến thức và cách làm các bài toán về hình bình hành và hình thoi 

* Một số lý thuyết và dạng bài thêm về hình bình hành:

 1. Định nghĩa

Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song

Tứ giác ABCD là hình bình hành$\iff \{\begin{array}{c}AB//CD\\ AD//BC\end{array}$

2. Tính chất: Trong hình bình hành

a) Các cạnh đối bằng nhau;

b) Các góc đối bằng nhau;

c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết

a) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành;

b) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;

c) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;

d) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành;

e) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Các dạng toán và phương pháp giải

Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình bình hành.

Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành

Phương pháp giải: Áp dụng các dấu hiệu nhận biết của hình bình hành

a) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành;

b) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;

c) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;

d) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành;

e) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy

Phương pháp giải: Vận dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành: Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

HÌNH THOI: 

1. Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

ABCD là hình thoi$\iff$ AB = BC = CD = DA.

Nhận xét: Hình thoi cũng là một hình bình hành.

2. Tính chất:

- Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.

- Trong hình thoi:

a) Hai đường chéo vuông góc với nhau;

b) Hai đường chéo là đường phân giác của các góc ở đỉnh của hình thoi.

3. Dấu hiệu nhận biết:

a) Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi;

b) Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi;

c) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi;

d) Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc ở đỉnh là hình thoi.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Chứng minh tứ giác là hình thoi

Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình thoi

Dạng 2. Vận dụng tính chất của hình thoi để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình thoi

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

Toán 8 Bài 4 giải vở bài tập (Chân trời sáng tạo): Hình bình hành – Hình thoi 

50 bài tập về hình bình hành (có đáp án 2024) – Toán 8