Hướng dẫn giải

+ Tam giác ABC có AB = AC (kí hiệu bằng nhau trên hình)

Do đó, tam giác ABC cân tại đỉnh A.

+ Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác DEF, ta có:

\(\widehat D + \widehat E + \widehat F = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat F = 180^\circ - \left( {\widehat D + \widehat E} \right) = 180^\circ - \left( {70^\circ + 50^\circ } \right) = 60^\circ \).

Do đó ta có, \(\widehat D \ne \widehat E \ne \widehat F\). Vậy tam giác DEF không phải tam giác cân.

+ Tam giác MNP có \(\widehat N = \widehat P\,\,\,\left( { = 50^\circ } \right)\).

Do đó, tam giác MNP cân tại đỉnh M.

+ Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác KGH, ta có:

\(\widehat K + \widehat G + \widehat H = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat H = 180^\circ - \left( {\widehat K + \widehat G} \right) = 180^\circ - \left( {40^\circ + 70^\circ } \right) = 70^\circ \).

Do đó tam giác KGH có \(\widehat G = \widehat H\, = 70^\circ \).

Vậy tam giác KGH cân tại đỉnh K.

Hướng dẫn giải

+ Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại đỉnh A.

Suy ra \(\widehat C = \widehat B = 65^\circ \).

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có:

\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {65^\circ + 65^\circ } \right) = 50^\circ \).

+ Tam giác MNP có MN = MP nên tam giác MNP cân tại đỉnh M.

Suy ra \(\widehat M = \widehat N\).

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác MNP, ta có:

\(\widehat M + \widehat N + \widehat P = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat M + \widehat M = 180^\circ - \widehat P\)\( \Rightarrow 2\widehat M = 180^\circ - \widehat P\)

\( \Rightarrow \widehat M = \frac{{180^\circ - \widehat P}}{2} = \frac{{180^\circ - 75^\circ }}{2} = 52,5^\circ \).

Vậy \(\widehat M = \widehat N = 52,5^\circ \).

Hướng dẫn giải

Tam giác ABE vuông tại E, do đó: \(\widehat A + \widehat {ABE} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ABE} = 90^\circ - \widehat A\).

Tam giác ACF vuông tại F, do đó: \(\widehat A + \widehat {ACF} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ACF} = 90^\circ - \widehat A\).

Từ đó, suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {ACF}\).

Xét tam giác vuông AEB và tam giác vuông AFC có:

BE = CF (theo giả thiết)

\(\widehat {ABE} = \widehat {ACF}\) (cmt)

Do đó, ∆AEB = ∆AFC (cạnh góc vuông và góc nhọn kề nó).

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).

Vậy tam giác ABC cân tại đỉnh A.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác AMC và tam giác DMB có:

MA = MD (gt)

MB = MC (M là trung điểm của BC)

\(\widehat {AMC} = \widehat {DMB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆AMC = ∆DMB (c – g – c).

Suy ra \(\widehat {DBM} = \widehat {ACM}\) (hai góc tương ứng).

Do tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ACM} = \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \).

Khi đó, ta có: \(\widehat {ABD} = \widehat {ABC} + \widehat {CBD}\)\( = \widehat {ABC} + \widehat {DBM}\)= \(\widehat {ABC} + \widehat {ACM} = 90^\circ \).

Suy ra \(\widehat {ABD} = 90^\circ \).

Vậy tam giác ABD vuông tại B.

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác vuông ABD và tam giác vuông BAC có:

BD = AC (do ∆AMC = ∆DMB)

AB: cạnh chung

Do đó, ∆ABD = ∆BAC (hai cạnh góc vuông).

Hướng dẫn giải:

Do tam giác ABC vuông tại A nên AC ⊥ AB tại A.

Tam giác ABD vuông tại B nên DB ⊥ AB tại B.

Suy ra AC // DB (do cùng vuông góc với AB).

\( \Rightarrow \widehat {BDA} = \widehat {CAD}\) (hai góc so le trong).

Lại có: \(\widehat {ACB} = \widehat {BDA}\) (do ∆ABD = ∆BAC).

Do đó, \(\widehat {CAD} = \widehat {ACB}\), hay \(\widehat {CAM} = \widehat {ACM}\).

Suy ra tam giác AMC cân tại đỉnh M.

Khi đó MA = MC.

Mà MB = MC (do M là trung điểm của BC).

Nên MA = MB = MC.

Do đó, tam giác AMB cân tại đỉnh M.

Hướng dẫn giải

Do BM và CN là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB.

Khi đó, \(AM = MC = \frac{{AC}}{2};\,\,\,AN = NB = \frac{{AB}}{2}\).

Mà AB = AC (do tam giác ABC cân tại đỉnh A).

Do đó, AM = MC = AN = NB.

Xét tam giác ABM và tam giác ACN có:

AB = AC

\(\widehat A\): góc chung

AM = AN

Do đó, ∆ABM = ∆ACN (c – g – c).

Suy ra BM = CN (đpcm).

Hướng dẫn giải:

Do BE là đường phân giác của góc ABC nên \(\widehat {ABE} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\).

Và CF là đường phân giác của góc ACB nên \(\widehat {ACF} = \frac{1}{2}\widehat {ACB}\).

Lại có \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (do tam giác ABC cân tại đỉnh A).

Do đó, \(\widehat {ABE} = \widehat {ACF}\).

Xét tam giác ABE và tam giác ACF có:

\(\widehat A\): góc chung

AB = AC

\(\widehat {ABE} = \widehat {ACF}\)

Do đó, ∆ABE = ∆ACF (g – c – g)

Suy ra, BE = CF (đpcm).

Hướng dẫn giải

Xét tam giác vuông ADB và tam giác vuông BCA có:

AB: cạnh huyền chung

AD = CB (gt)

Do đó, ∆ADB = ∆BCA (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \(\widehat {DBA} = \widehat {CAB}\), hay \(\widehat {EBA} = \widehat {EAB}\).

Khi đó tam giác EAB cân tại đỉnh E.

Xét tam giác vuông ADE và tam giác vuông BCE có:

AD = CB (gt)

EA = EB (∆EAB cân tại đỉnh E)

Do đó, ∆ADE = ∆BCE (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra ED = EC.

Do đó, tam giác EDC cân tại đỉnh E.

Hướng dẫn giải:

Theo định lí tổng 3 góc trong tam giác EAB, ta có:

\(\widehat {EBA} + \widehat {EAB} + \widehat {AEB} = 180^\circ \)

Mà \(\widehat {EBA} = \widehat {EAB}\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat {EBA} = \frac{{180^\circ - \widehat {AEB}}}{2}\).        (1)

Theo định lí tổng 3 góc trong tam giác EDC, ta có:

\(\widehat {EDC} + \widehat {ECD} + \widehat {DEC} = 180^\circ \)

Mà \(\widehat {EDC} = \widehat {ECD}\) (∆ECD cân tại đỉnh E).

Suy ra \(\widehat {EDC} = \frac{{180^\circ - \widehat {DEC}}}{2}\).        (2)

Ta lại có: \(\widehat {AEB} = \widehat {DEC}\) (hai góc đối đỉnh).     (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat {EBA} = \widehat {EDC}\), hay \(\widehat {DBA} = \widehat {BDC}\).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Vậy AB // DC.

Hướng dẫn giải

+ Xét tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACH có:

AH: cạnh chung

HB = HC (gt)

Do đó, ∆ABH = ∆ACH (hai cạnh góc vuông).

Suy ra AB = AC.   (1)

Do đó, tam giác ABC cân tại đỉnh A.

⇒ \(\widehat C = \widehat B = \widehat {ABH} = 60^\circ \).

Ta có: \(\widehat {BAC} + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong tam giác).

Suy ra \(\widehat {BAC} = 180^\circ - \widehat B - \widehat C = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ \).

Khi đó \(\widehat B = \widehat {BAC}\), do đó tam giác ABC cân tại đỉnh C nên AC = BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = AC = BC.

Do đó, ∆ABC đều.

+ Vì H thuộc BC và điểm H nằm giữa điểm B và điểm C, hơn nữa HB = HC, do đó H là trung điểm của BC.

Suy ra \(BH = \frac{{BC}}{2}\).

Mà BC = AB (chứng minh trên).

Vậy BH = \(\frac{{AB}}{2}\).

Hướng dẫn giải

Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Do đó, trong các Hình 4.53, chỉ có đường thẳng d trong Hình 4.53a là đường trung trực của đoạn thẳng.

Hướng dẫn giải

Điểm A thuộc đường trung trực của BC nên AB = AC (điểm thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó).

Do đó, ∆ABC cân tại đỉnh A.

Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\).

Vậy các câu a), c), d) đúng.

Câu b) chưa đúng vì ta chưa đủ dữ kiện để tam giác ABC đều, do ta chỉ có AB = AC, và độ dài đoạn thẳng BC bất kì.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACH có:

AB = AC (∆ABC cân tại đỉnh A)

AH: cạnh chung

Do đó, ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \(\widehat {BAH} = \widehat {CAH}\), hay \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\).

Xét tam giác ABM và ACM có:

AB = AC (∆ABC cân tại đỉnh A)

\(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\)

AM: cạnh chung

Do đó, ∆ABM = ∆ACM (c – g – c).