Đáp án đúng là: B

Có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left[co{s}^2\left(2x+\frac{\pi }{12}\right)\right]}^{\text{'}}$$=2cos\left(2x+\frac{\pi }{12}\right)\cdot {\left[cos\left(2x+\frac{\pi }{12}\right)\right]}^{\text{'}}$

$=-4cos\left(2x+\frac{\pi }{12}\right)\sin \left(2x+\frac{\pi }{12}\right)$$=-2\sin \left(4x+\frac{\pi }{6}\right)$

$f^{\text{'}}\left(0\right)=-2\sin \left(4\cdot 0+\frac{\pi }{6}\right)=-1$

Đáp án đúng là: C

Có  $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(-\frac{1}{3}{x}^3+x^2+3x-1\right)}^{\text{'}}$= −x² + 2x + 3.

Để f'(x) > 0 thì −x² + 2x + 3 > 0 Û (3 − x)(x + 1) > 0 Û −1 < x < 3.

Đáp án đúng là: C

Có y' = (ln|1 – 2x|)' = $=\frac{2}{2x-1}$ $\frac{{\left(1-2x\right)}^{\text{'}}}{1-2x}$$=\frac{-2}{1-2x}$

Vậy $y^{\text{'}}=\frac{2}{2x-1}$

Đáp án đúng là: C

Có $y^{\text{'}}={\left[{\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^3\right]}^{\text{'}}$$=3{\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^2{\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^{\text{'}}$

 $=3{\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^2\frac{{\left(2x+1\right)}^{\text{'}}\left(x-1\right)-\left(2x+1\right){\left(x-1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x-1\right)}^2}$

$=3{\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^2\frac{2\left(x-1\right)-\left(2x+1\right)}{{\left(x-1\right)}^2}$

$=3{\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^2\frac{2x-2-2x-1}{{\left(x-1\right)}^2}$$=-9\frac{{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(x-1\right)}^4}$

Vậy $y^{\text{'}}=-9\frac{{\left(2x+1\right)}^2}{{\left(x-1\right)}^4}$ .

Đáp án đúng là: A

$y^{\text{'}}={\left(\sqrt{1+2{\sin }^{2}x}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(1+2{\sin }^{2}x\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1+2{\sin }^{2}x}}$$=\frac{4\sin x\cos x}{2\sqrt{1+2{\sin }^{2}x}}$

$=\frac{2\sin 2x}{2\sqrt{1+2{\sin }^{2}x}}$$=\frac{\sin 2x}{\sqrt{1+2{\sin }^{2}x}}$

Vậy $y^{\text{'}}=\frac{\sin 2x}{\sqrt{1+2{\sin }^{2}x}}$

Đáp án đúng là: B

Có y' = (xsin²x)' = sin²x + x×(sin²x)' = sin²x + 2xsinxcosx = sin²x + xsin2x.

Vậy y' = sin²x + xsin2x.

Đáp án đúng là: C

$f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\sqrt{1+5g\left(x\right)}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(1+5g\left(x\right)\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1+5g\left(x\right)}}$$=\frac{5g^{\text{'}}\left(x\right)}{2\sqrt{1+5g\left(x\right)}}$

Có $f^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{5g^{\text{'}}\left(0\right)}{2\sqrt{1+5g\left(0\right)}}=\frac{5\cdot \left(-8\right)}{2\sqrt{1+5\cdot 3}}=-5$  (do g(0) = 3, g'(0) = −8).

Vậy f'(0) = −5.

Đáp án đúng là: A

Có f'(x) = (xsinx)' = sinx + xcosx, suy ra f'(1) = sin1 + cos1

$g^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\frac{\cos x}{x}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(\cos x\right)}^{\text{'}}x-\cos x\cdot {\left(x\right)}^{\text{'}}}{x^2}$$=\frac{-x\mathrm{s}\text{inx}-\cos x}{x^2}$

suy ra $g^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{-\mathrm{s}\text{in1}-\cos 1}{1^2}=-\mathrm{s}\text{in1}-\cos 1$

Do đó $\frac{f^{\text{'}}\left(1\right)}{g^{\text{'}}\left(1\right)}=\frac{\mathrm{s}\text{in1+}\cos 1}{-\mathrm{s}\text{in1}-\cos 1}=-1$

Vậy $\frac{f^{\text{'}}\left(1\right)}{g^{\text{'}}\left(1\right)}=-1$

Đáp án đúng là: D

Có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x{e}^{-\frac{x^2}{2}}\right)}^{\text{'}}$$=e^{-\frac{x^2}{2}}+x{e}^{-\frac{x^2}{2}}{\left(-\frac{x^2}{2}\right)}^{\text{'}}$$=e^{-\frac{x^2}{2}}-x^2{e}^{-\frac{x^2}{2}}$

Để f'(x) = 0 thì  $e^{-\frac{x^2}{2}}-x^2{e}^{-\frac{x^2}{2}}=0$$\iff e^{-\frac{x^2}{2}}\left(1-x^2\right)=0$$\iff 1-x^2=0$$\iff x=\pm 1$

Vậy tập nghiệm của phương trình f'(x) = 0 là S = {−1; 1}.

Đáp án đúng là: D

Có f'(x) = (2x³ + 3x – 1)' = 6x² + 3.

 g'(x) = [3(x² + x) + 2]' = 6x + 3.

Để f'(x) < g'(x) thì 6x² + 3 < 6x + 3 Û 6x² − 6x < 0 Û 6x(x − 1) < 0 Û 0 < x < 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình f'(x) < g'(x) là (0; 1).

Đáp án đúng là: B

Ta có S(r) = $\pi r^2$ . Do đó $S^{\text{'}}\left(r\right)={\left(\pi r^2\right)}^{\text{'}}=2\pi r$  là chu vi của đường tròn đó.

Đáp án đúng là: A

Có y' = [x(x – 1)² + x² + 1]' = (x – 1)² + 2x(x – 1) + 2x

= x² – 2x + 1 + 2x² – 2x + 2x = 3x² – 2x + 1.

Có y'(−1) = 3×(−1)² – 2×(−1) + 1 = 6.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x(x – 1)² + x² + 1 tại điểm A(−1; −2) có dạng: y = y'(−1)×(x + 1) – 2 = 6×(x + 1) – 2 = 6x + 6 – 2 = 6x + 4.

Vậy y = 6x + 4 là tiếp tuyến cần tìm.

Đáp án đúng là: C

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số có dạng:

k = $y^{\text{'}}={\left(\frac{2}{3}{x}^3-4x^2+5x+3\right)}^{\text{'}}$ = 2x² – 8x + 5.

Có k = 2x² – 8x + 5 = 2(x² – 4x) + 5 = 2(x² – 4x + 4) – 3 = 2(x – 2)² – 3 ³ − 3.

Dấu “=” xảy ra khi x – 2 = 0 hay x = 2.

Do đó hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến là −3 khi x = 2;  $y=\frac{7}{3}$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là $y=-3\left(x-2\right)+\frac{7}{3}$$=-3x+\frac{25}{3}$

Vậy $y=-3x+\frac{25}{3}$  là tiếp tuyến cần tìm.

Đáp án đúng là: D

Có $y^{\text{'}}={\left(\frac{1-2x}{x+2}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(1-2x\right)}^{\text{'}}\left(x+2\right)-\left(1-2x\right){\left(x+2\right)}^{\text{'}}}{{\left(x+2\right)}^2}$

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = −1 là:

k = $y^{\text{'}}\left(-1\right)=\frac{-5}{{\left(-1+2\right)}^2}=-5$

Vậy k = −5 là hệ số góc cần tìm.

Đáp án đúng là: B

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số có dạng:

k = y' = (−x³ + 6x² – 9x + 1)' = −3x² + 12x – 9.

Có k = −3x² + 12x – 9 = −3(x² – 4x) – 9 = −3(x² – 4x + 4) + 3 = −3(x − 2)² + 3 ≤ 3.

Dấu “=” xảy ra khi x – 2 = 0 hay x = 2.

Do đó hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến của đồ thị hàm số là 3 khi x = 2; y = −1.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là y = 3(x – 2) – 1= 3x – 7.

Vậy y = 3x – 7 là tiếp tuyến cần tìm.

Đáp án đúng là: A

Có f'(x) = [(x² – x)e^−x]' = (2x −1)e^−x − (x² – x)e^−x = (−x² + 3x – 1)e^−x.

f"(x) = [(−x² + 3x – 1)e^−x]' = (−2x + 3)e^−x − (−x² + 3x – 1)e^−x = (x² – 5x + 4)e^−x.

Khi đó f"(0) = (0² – 5×0 + 4)e⁻⁰ = 4. Vậy f"(0) = 4.

Đáp án đúng là: A

Có f'(x) = [(x² – x)e^−x]' = (2x −1)e^−x − (x² – x)e^−x = (−x² + 3x – 1)e^−x.

f"(x) = [(−x² + 3x – 1)e^−x]' = (−2x + 3)e^−x − (−x² + 3x – 1)e^−x = (x² – 5x + 4)e^−x.

Khi đó f"(0) = (0² – 5×0 + 4)e⁻⁰ = 4. Vậy f"(0) = 4.

Có y' = (e^xcosx)' = e^xcosx − e^xsinx

⇒ y' = y − e^xsinx ⇒ e^xsinx = y – y'.

y" = (e^xcosx − e^xsinx)' = e^xcosx − e^xsinx – (e^xsinx + e^xcosx) = −2e^xsinx = −2(y – y').

Do đó y" = −2(y – y') Û y" = −2y + 2y' Û y" – 2y' + 2y = 0.

Đáp án đúng là: A

Vận tốc của vật tại thời điểm t là v(t) = h'(t) = (400 – 4,9t²)' = −9,8t.

Khi vật chạm đất tức là h(t) = 0 Û 400 – 4,9t² = 0 Û  $t=\frac{20\sqrt{10}}{7}$ giây.

Giá trị tuyệt đối của vận tốc của vật khi nó chạm đất là $\left|-9,8\cdot \frac{20\sqrt{10}}{7}\right|\approx 88,5$ m/s.

Đáp án đúng là: C

Vận tốc của vật tại thời điểm t là v(t) =$s^{\text{'}}\left(t\right)={\left[5+\sin \left(0,8\pi t+\frac{\pi }{6}\right)\right]}^{\text{'}}$

$={\left(0,8\pi t+\frac{\pi }{6}\right)}^{\text{'}}\cos \left(0,8\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$$=0,8\pi \cos \left(0,8\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$

Gia tốc của vật tại thời điểm t là a(t) = v'(t) = ${\left[0,8\pi \cos \left(0,8\pi t+\frac{\pi }{6}\right)\right]}^{\text{'}}$

$=-0,8^2{\pi }^2\sin \left(0,8\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$

Tại thời điểm vận tốc bằng 0 tức là $0,8\pi \cos \left(0,8\pi t+\frac{\pi }{6}\right)=0$$\iff \cos \left(0,8\pi t+\frac{\pi }{6}\right)=0$ .

Do ${\cos }^2\left(0,8\pi t+\frac{\pi }{6}\right)+{\sin }^2\left(0,8\pi t+\frac{\pi }{6}\right)=1$  mà $\cos \left(0,8\pi t+\frac{\pi }{6}\right)=0$  nên

${\sin }^2\left(0,8\pi t+\frac{\pi }{6}\right)=1$$\iff \left|\sin \left(0,8\pi t+\frac{\pi }{6}\right)\right|=1$

Giá trị tuyệt đối của gia tốc tại thời điểm vận tốc bằng 0 là

 $\left|-0,8^2{\pi }^2\sin \left(0,8\pi t+\frac{\pi }{6}\right)\right|={\left(0,8\pi \right)}^2\approx 6,3$ cm/s².

Vậy giá trị tuyệt đối của gia tốc gần 6,3 cm/s².

Đáp án đúng là: A

Ta có v(t) = s'(t) = 4t³ – 12t² – 40t + 20.

a(t) = v'(t) = 12t² – 24t – 40.

Thời điểm mà vận tốc v = 20 m/s tức là 4t³ – 12t² – 40t + 20 = 20

Û 4t³ – 12t² – 40t = 0 Û t = 5 (thỏa mãn) hoặc t = 0 (loại) hoặc t = −2 (loại).

Gia tốc của vật tại thời điểm t = 5 giây là a(5) = 12×5² – 24×5 – 40 = 140 m/s².

Vậy gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc v = 20 m/s là 140 m/s².

a) $y^{\text{'}}={\left[{\left(x^2-\frac{2}{x}+4\sqrt{x}\right)}^3\right]}^{\text{'}}$

$=3{\left(x^2-\frac{2}{x}+4\sqrt{x}\right)}^2{\left(x^2-\frac{2}{x}+4\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}$

$=3{\left(x^2-\frac{2}{x}+4\sqrt{x}\right)}^2\left(2x+\frac{2}{x^2}+\frac{2}{\sqrt{x}}\right)$

$=6{\left(x^2-\frac{2}{x}+4\sqrt{x}\right)}^2\left(x+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$

Vậy $y^{\text{'}}=6{\left(x^2-\frac{2}{x}+4\sqrt{x}\right)}^2\left(x+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$

b) y' = [2^x + log₃(1 – 2x)]' = $2^x\ln 2+\frac{{\left(1-2x\right)}^{\text{'}}}{\left(1-2x\right)\ln 3}$$=2^x\ln 2-\frac{2}{\left(1-2x\right)\ln 3}$

Vậy $y^{\text{'}}=2^x\ln 2-\frac{2}{\left(1-2x\right)\ln 3}$

c) $y^{\text{'}}={\left(\frac{1-2x}{x^2+1}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(1-2x\right)}^{\text{'}}\left(x^2+1\right)-\left(1-2x\right){\left(x^2+1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x^2+1\right)}^2}$

$=\frac{-2\left(x^2+1\right)-2x\left(1-2x\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}$$=\frac{-2x^2-2-2x+4x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}$$=\frac{2x^2-2x-2}{{\left(x^2+1\right)}^2}$

Vậy $y^{\text{'}}=\frac{2x^2-2x-2}{{\left(x^2+1\right)}^2}$

d) y' = (sin2x + cos²3x)' = cos2x×(2x)' + 2cos3x×(cos3x)'

= 2cos2x – 6cos3xsin3x = 2cos2x – 3sin6x.

Vậy y' = 2cos2x – 3sin6x.

a) Điều kiện 4 – x² ³ 0 Û −2 ≤ x ≤ 2.

Vậy tập xác định của hàm số là [−2; 2].

b) Có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x+\sqrt{4-x^2}\right)}^{\text{'}}$$=1+\frac{{\left(4-x^2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{4-x^2}}$

$=1+\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}$$=1-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$$=\frac{\sqrt{4-x^2}-x}{\sqrt{4-x^2}}$

Điều kiện để f'(x) xác định là 4 – x² > 0 Û −2 < x < 2.

Vậy tập xác định của f'(x) là (−2; 2).

c) Có f'(x) = 0 thì $\frac{\sqrt{4-x^2}-x}{\sqrt{4-x^2}}=0$$\Rightarrow \sqrt{4-x^2}-x=0$

$\iff \sqrt{4-x^2}=x$$\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ 4-x^2=x^2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ 2x^2=4\end{array}\right.$$\iff x=\sqrt{2}$

Kết hợp với điều kiện ở câu b, ta có $x=\sqrt{2}$  là giá trị cần tìm.

+) Với x < 0 thì f(x) = x² – x. Có f'(x) = 2x – 1.

+) Với x > 0 thì f(x) = −x³ + mx. Có f'(x) = −3x² + m.

Hàm số có đạo hàm tại mọi x Î ℝ khi và chỉ khi tồn tại f'(0).

Ta đi tính đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải tại điểm x = 0.

Có $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$$=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{-x^3+mx}{x}$$=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(-x^2+m\right)=m$

Do vậy hàm số có đạo hàm tại mọi x Î ℝ khi và chỉ khi m = −1.

Vậy m = −1 là giá trị cần tìm.

Có f'(x) = (x³ + ax² + 3x + 1)' = 3x² + 2ax + 3.

Để f'(x) > 0 với mọi x Î ℝ thì 3x² + 2ax + 3 > 0 với mọi x Î ℝ, điều này xảy ra khi và chỉ khi D' = a² – 9 < 0 Û −3 < a < 3.

Vậy −3 < a < 3 là giá trị cần tìm.

Giả sử $M\left(x_0;x_0^3-3x_0^2+2x_0-1\right)$  là điểm thuộc đồ thị (C).

Vì tiếp tuyến tại điểm M song song với đường thẳng có phương trình y = 2x – 1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = y'(x₀) = 2.

Có y'(x₀) = $3x_0^2-6x_0+2$

Vì y'(x₀) = 2 nên $3x_0^2-6x_0+2=2$$\iff 3x_0^2-6x_0=0$  Û x₀ = 0 hoặc x₀ = 2.

+ Với x₀ = 0 thì M(0; −1). Khi đó ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 2x − 1 trùng với đường thẳng đề cho nên M(0; −1) không thỏa mãn.

+ Với x₀ = 2 thì M(2; −1). Khi đó ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 2(x – 2) – 1 hay y = 2x – 5.

Vậy M(2; −1) là điểm cần tìm.

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = (x² – 1)² – 3 và đồ thị hàm số y = 10 – x² là nghiệm của phương trình: (x² – 1)² – 3 = 10 – x²

Û x⁴ – 2x² + 1 – 3 = 10 – x²

Û x⁴ – x² – 12 = 0

Û (x² + 3)(x² – 4) = 0

Û x² – 4 = 0 (do x² + 3 > 0 với mọi x)

Û x = 2 hoặc x = −2.

Với x = 2, ta có tọa độ giao điểm A(2; 6).

Với x = −2, ta có tọa độ giao điểm B(−2; 6).

Có y' = [(x² – 1)² – 3]' = 2(x² – 1)(x² – 1)' = 4x(x² – 1).

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A(2; 6).

Hệ số góc của tiếp tuyến là k = y'(2) = 4×2×(2² – 1) = 24.

Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A(2; 6) là:

y = 24(x – 2) + 6 hay y = 24x – 42.

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại B(−2; 6).

Hệ số góc của tiếp tuyến là k = y'(−2) = 4×(−2)×[(−2)² – 1] = −24.

Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại B(−2; 6) là:

y = −24(x + 2) + 6 hay y = −24x – 42.

Vậy y = 24x – 42 và y = −24x – 42 là hai tiếp tuyến cần tìm.

Vận tốc của vật tại thời điểm t là

v(t) = $x^{\text{'}}\left(t\right)={\left[8\sin \left(\sqrt{2}\pi t+\frac{\pi }{3}\right)\right]}^{\text{'}}$

$=8.{\left(\sqrt{2}\pi t+\frac{\pi }{3}\right)}^{\text{'}}cos\left(\sqrt{2}\pi t+\frac{\pi }{3}\right)$

$=8\sqrt{2}\pi cos\left(\sqrt{2}\pi t+\frac{\pi }{3}\right)$

Gia tốc của vật tại thời điểm t là

a(t) = $v^{\text{'}}\left(t\right)={\left[8\sqrt{2}\pi cos\left(\sqrt{2}\pi t+\frac{\pi }{3}\right)\right]}^{\text{'}}$

$=-8\sqrt{2}\pi \sin \left(\sqrt{2}\pi t+\frac{\pi }{3}\right).{\left(\sqrt{2}\pi t+\frac{\pi }{3}\right)}^{\text{'}}$

$=-16{\pi }^2\sin \left(\sqrt{2}\pi t+\frac{\pi }{3}\right)$

Vận tốc của vật tại thời điểm t = 5 giây là

$v\left(5\right)=8\sqrt{2}\pi cos\left(5\sqrt{2}\pi +\frac{\pi }{3}\right)\approx -10,5$m/s.

Gia tốc của vật tại thời điểm t = 5 giây là

 $a\left(5\right)=-16{\pi }^2\sin \left(5\sqrt{2}\pi +\frac{\pi }{3}\right)\approx 150,8$m/s².

Tại thời điểm đó vật đang chuyển động theo hướng từ phải sang trái (hướng tới vách chắn cố định).