b) u₁ = 1; u₂ = 2 – u₁ = 2 – 1 = 1; u₃ = 3 – u₂ = 3 – 1 = 2; u₄ = 4 – u₃ = 4 – 2 = 2;

u₅ = 5 – u₄ = 5 – 2 = 3.

a) Ta có u_{n + 1} – u_n = [(n + 1)² + (n + 1) + 1] – (n² + n + 1)

                             = n² + 2n + 1 + n + 1 + 1 – n² – n – 1

                             = 2n + 2 > 0, ∀ n ≥ 1.

Do đó, u_{n + 1} > u_n ∀ n ≥ 1. Vậy (u_n­) là dãy số tăng.

a) Ta có $u_n=\frac{n}{2n+1}\ge \frac{1}{3}\forall n\ge 1$.

Lại có $u_n=\frac{n}{2n+1}=\frac{\frac{1}{2}\left(2n+1\right)-\frac{1}{2}}{2n+1}=\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{2n+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\left(2n+1\right)}$. Suy ra $u_n\le \frac{1}{2}\forall n\ge 1$.

Do đó $\frac{1}{3}\le u_n\le \frac{1}{2}\forall n\ge 1$. Vậy (u_n) là dãy số bị chặn.

b) Ta có n – 1 ≥ 0 với mọi n ≥ 1 và n² ≥ 0 với mọi n.

Do đó, u_n = n² + n – 1 ≥ 1.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới bởi 1 với mọi n ≥ 1.

c) Ta có u_n = – n² + 1 < 1 với mọi n ≥ 1.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn trên bởi 1 với mọi n ≥ 1.

a) Với p = 5 thì $\sqrt{5}$≈ 2,23607. Nếu ta chọn u₁ = 3 thì ta có:

u₁ = 3

$u_2=\frac{1}{2}\left(u_1+\frac{5}{u_1}\right)=\frac{1}{2}\left(3+\frac{5}{3}\right)$≈ 2,3333

$u_3=\frac{1}{2}\left(u_2+\frac{5}{u_2}\right)=\frac{1}{2}\left(2,3333+\frac{5}{2,3333}\right)$≈  2,2381

$u_4=\frac{1}{2}\left(u_3+\frac{5}{u_3}\right)=\frac{1}{2}\left(2,2381+\frac{5}{2,2381}\right)$≈ 2,2361

$u_5=\frac{1}{2}\left(u_4+\frac{5}{u_4}\right)=\frac{1}{2}\left(2,2361+\frac{5}{2,2361}\right)$≈ 2,2361

Sai số tuyệt đối xấp xỉ bằng 2,2361 – 2,23607 = 0,00003.

b) Với p = 8 thì $\sqrt{8}$ ≈ 2,82843. Nếu ta chọn u₁ = 3 thì ta có:

u₁ = 3

$u_2=\frac{1}{2}\left(u_1+\frac{8}{u_1}\right)=\frac{1}{2}\left(3+\frac{8}{3}\right)$≈ 2,8333

$u_3=\frac{1}{2}\left(u_2+\frac{8}{u_2}\right)=\frac{1}{2}\left(2,8333+\frac{8}{2,3333}\right)$≈ 2,8284

$u_4=\frac{1}{2}\left(u_3+\frac{8}{u_3}\right)=\frac{1}{2}\left(2,8284+\frac{8}{2,8284}\right)$≈ 2,8284

$u_5=\frac{1}{2}\left(u_4+\frac{8}{u_4}\right)=\frac{1}{2}\left(2,8284+\frac{5}{2,8284}\right)$≈ 2,8284

Sai số tuyệt đối xấp xỉ bằng 2,8284 – 2,82843 = 0,00003.

a) Bảy số tam giác đầu là u₁ = 1; u₂ = u₁ + (1 + 1) = 1 + 2 = 3;

u₃ = u₂ + (2 + 1) = 3 + 3 = 6; u₄ = u₃ + (3 + 1) = 6 + 4 = 10;

u₅ = u₄ + (4 + 1) = 10 + 5 = 15; u₆ = u₅ + (5 + 1) = 15 + 6 = 21;

u₇ = u₆ + (6 + 1) = 21 + 7 = 28.

b) Từ kết quả ở câu a, ta nhận thấy u₁ = 1, u₂ = 1 + 2, u₃ = 1 + 2 + 3, u₄ = 1 + 2 + 3 + 4, ...

Từ đó suy ra u_{n + 1} = 1 + 2 + ... + n + (n + 1)

$=\frac{n\left(n+1\right)}{2}+\left(n+1\right)=\frac{n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)}{2}=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}$.

Vậy $u_{n+1}=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}$.

c) Theo công thức ở câu b) ta có:

$u_{n+1}+u_n=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}+\frac{n\left(n+1\right)}{2}=\frac{\left(n+1\right)\left[\left(n+2\right)+n\right]}{2}=\frac{\left(n+1\right).2\left(n+1\right)}{2}={\left(n+1\right)}^2$.

Vậy tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.

Giá trị của máy photocopy sau 1 năm sử dụng là

T₁ = 50 . 75% = 37,5 (triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 2 năm sử dụng là

T₂ = T₁ . 75% = 37,5 . 75% = 28,125 (triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 3 năm sử dụng là

T₃ = T₂ . 75% = 28,125 .75% = 21,09375 (triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 4 năm sử dụng là

T₄ = T₃ . 75% = 21,0375 . 75% ≈ 15,8203 (triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 5 năm sử dụng là

T₅ = T₄ . 75% ≈ 15,8203 . 75% ≈ 11,8652 (triệu đồng).

Tổng quát, giá trị của máy photocopy sau n năm sử dụng là

T_n = T₁ . (0,75)^{n – 1} (triệu đồng).

Giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau 5 năm là  :A₅ = 2,5 . (1,035)⁵ ≈ 2,9692 (tỉ đồng).

b) Ta có 2 năm bằng 8 quý, tức là n = 8.

Do đó, sau 2 năm số tiền bác An nhận được là

$A_8=200{\left(1+\frac{0,03}{4}\right)}^8\approx 212,3198$ (triệu đồng).

Giả sử ban đầu có 1 vi khuẩn E. Coli.

Sau 20 phút lần một, số vi khuẩn là 1 . 2 = 2 (con).

Sau 20 phút lần hai, số vi khuẩn là 2 . 2 = 2² (con).

Sau 20 phút lần ba, số vi khuẩn là 2² . 2 = 2³ (con).

Sau 20 phút lần bốn, số vi khuẩn là 2³ . 2 = 2⁴ (con).

...

Tương tự như vậy sau 12 giờ (bằng 3 . 12 lần 20 phút) thì số vi khuẩn là

2^{3 . 12} = 2³⁶ ≈ 6,87 . 10¹⁰ (con).

Sau 48 giờ (bằng 3 . 48 lần 20 phút) thì số vi khuẩn là

2^{3 . 48} = 2¹⁴⁴ ≈ 2,23 . 10⁴³ (con).

a) Gọi u₁ = 1,0 . 10⁹ là số vi khuẩn tại thời điểm ban đầu và u_n là số vi khuẩn trước lần dùng thuốc thứ n.

Do mỗi liều thuốc được sử dụng sau bốn giờ có thể tiêu diệt 4,0 . 10⁸ vi khuẩn và giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn tăng lên 25% nên ta có

u_{n + 1} = (u_n – 4,0 . 10⁸) + 25% . u_n = 1,25u_n – 4,0 . 10⁸.

Ta có hệ thức truy hồi u₁ = 1,0 . 10⁹; u_{n + 1} = 1,25u_n – 4,0 . 10⁸.

b) Ta tính u₅ như sau:

u₁ = 1,0 . 10⁹;

u₂ = 1,25u₁ – 4,0 . 10⁸ = 1,25 . 1,0 . 10⁹ – 4,0 . 10⁸ = 8,5 . 10⁸;

u₃ = 1,25u₂ – 4,0 . 10⁸ = 1, 25 . 8,5 . 10⁸ – 4,0 . 10⁸ = 6,625 . 10⁸;

u₄ = 1,25u₃ – 4,0 . 10⁸ = 1,25 . 6,625 . 10⁸ – 4,0 . 10⁸ = 4,28125 . 10⁸;

u₅ = 1,25u₄ – 4,0 . 10⁸ = 1,25 . 4,28125 . 10⁸ – 4,0 . 10⁸ = 1,3515625 . 10⁸ = 135 156 250;

Vậy số vi khuẩn còn sống trước lần sử dụng thuốc thứ năm là 135 156 250 con.