Đáp án đúng là: D

$u_1=\frac{1}{1}=1;$ $u_2=\frac{1}{2};$ $u_3=\frac{1}{3};$

Ta thấy u₁ > u₂ > u₃.

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

Đáp án đúng là: A

Ta có $u_n=\frac{1}{9^n}<1$ với ∀n ∈ ℕ*, suy ra (un) bị chặn trên.

Đáp án đúng là: C

Công sai d = u₂ – u₁ = ‒1 ‒ 3 = ‒4.

Số hạng thứ 3 của cấp số cộng là: u₃ = u₂ + d = ‒1 + (‒4) = ‒5.

Đáp án đúng là: B

Số hạng thứ tư của cấp số cộng đó là: u₄ = u₁ + 3d = 3 + 3.5 = 18.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{u}_4=-12\\ u_{14}=18\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+3d=-12\\ u_1+13d=18\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=-21\\ d=3\end{array}\right.$

Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là:

$S_{16}=\frac{16\left[2\cdot \left(-21\right)+\left(16-1\right)\cdot 3\right]}{2}=24$.

Đáp án đúng là: B

Công sai d = ‒5 ‒ (‒2) = ‒3.

Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó

$S_{20}=\frac{20\left[2\cdot \left(-2\right)+19\cdot \left(-3\right)\right]}{2}=-610.$

Đáp án đúng là: A

Ta có u₆ = u₁.q⁵, suy ra 486 = 2.q⁵

Do đó q⁵ = 243 = 3⁵ nên q = 3.

Đáp án đúng là: B

Ta có u₄ = u₁.q³, suy ra 192 = 3.q³,

Do đó q³ = 64 = 4³ nên q = 4

Tổng số hạng các cấp số nhân là:

$S_4=\frac{u_1\left(1-q^4\right)}{1-q}=\frac{3\left(1-4^4\right)}{1-4}=255.$

Gọi d là công sai của cấp số cộng và các cạnh có độ dài lần lượt là: a ‒ d, a, a + d với 0 < d < a.

Vì tam giác có chu vi bằng 3 nên a ‒ d + a + a + d = 3a = 3, suy ra a = 1.

Vì đây là tam giác vuông nên cạnh lớn nhất là cạnh huyền, theo định lí Pythagore, ta có: (1 + d)2 = (1 ‒ d)2 + 12

Suy ra 1 + 2d + d2 = 1 – 2d + d2 + 1

Do đó 4d = 1

Suy ra$d=\frac{1}{4}\text{. }$

Khi đó $a-d=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ và $a+d=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}.$

Vậy ba cạnh của tam giác có độ dài là $\frac{3}{4};1;\frac{5}{4}$.

Gọi số cạnh của đa giác là n (n ∈ ℕ*).

Số đo các cạnh của đa giác là u1, u2, u3, …, un (với 0 < u1 < u2 < … < un).

Khi đó ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_2+\dots +u_n=S_n=213\\ u_n=53\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{n}{2}\left(u_1+u_n\right)=213\\ u_1+\left(n-1\right)d=53\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}n\left(u_1+53\right)=426\left(1\right)\\ u_1+7\left(n-1\right)=53\left(2\right)\end{array}\right.\right.$

Từ (2) suy ra u1 = 53 – 7(n – 1), thay vào (1) ta được

n[53 ‒ 7(n ‒ 1) + 53] = 426

⇔ n(113 ‒ 7n) = 426

⇔ 7n2 – 113n + 426 = 0

⇔ n = 6 (chọn) hoặc $n=\frac{71}{7}$ (loại)

Vậy đa giác có 6 cạnh.

Ta có a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi: b ‒ a = c ‒ b

⇔ (b ‒ a)² = (c ‒ b)²

⇔ b² ‒ 2ab + a² = c² ‒ 2bc + b²

⇔ a² ‒ c² = 2ab ‒ 2bc.

Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là u₁ và công bội là q.

Theo giả thiết, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{u}_3-u_1=24\\ u_6-u_4=3000\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1\cdot q^2-u_1=24\\ u_1\cdot q^5-u_1\cdot q^3=3000\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1\cdot \left(q^2-1\right)=24\left(*\right)\\ u_1\cdot q^3\cdot \left(q^2-1\right)=3000\end{array}\right.\right.\right.$

Suy ra $\frac{1}{q^3}=\frac{24}{3000}\Rightarrow q^3=125\iff q=5$

Thay q = 5 vào biểu thức (*) ta có: u₁(5² – 1) = 24 ⇔ u₁ = 1

Vậy u₁ = 1, q = 5.

Gọi q là công bội của cấp số nhân (un).

Ta có u3 = u1.q2, u8 = u1.q7, suy ra $\frac{u_3}{u_8}=\frac{u_1\cdot q^2}{u_1\cdot q^7}=\frac{1}{q^5}=243$, suy ra $q=\frac{1}{3}$.

Do đó $u_9=u_1\cdot q^8=12\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^8=\frac{4}{2187}$.

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân, ta có:

$S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{3\cdot \left(1-2^n\right)}{1-2}=765$

⇔ 2n – 1 = 255 ⇔ 2n = 256 = 28

⇒ n = 8.

Diện tích mặt sàn tầng dưới cùng là: u₁ = 6 144 m²

Diện tích mặt sàn tầng 2 là: $u_2=6144\cdot \frac{1}{2}=3072{\text{ m}}^2$

....

Gọi diện tích mặt sàn tầng n là u_n với n ∈ ℕ*.

Dãy (u_n) lập thành một cấp số nhân là u₁ = 6 144 và công bội $q=\frac{1}{2}$, có số hạng tổng quát là: $u_n=6144\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$

Diện tích mặt tháp trên cùng chính là mặt tháp thứ 10 nên ta có:

$u_{10}=u_1\cdot q^9=6144\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^9=12\left({\text{m}}^2\right)$.

Gọi u_n là nhiệt độ của khay nước đó sau n – 1 giờ (đơn vị độ C) với n ∈ ℕ*.

Ta có:

u₁ = 20;

u₂ = 20 – 20.25% = 20.(1 – 25%) = 20.75%;

u₃ = 20.75%.75% = 20.(75%)²; ...

Suy ra dãy (u_n) lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 20 và công bội q = 75% có số hạng tổng quát u_n = 20.(75%)^{n – 1} độ C.

Vậy sau 4 giờ thì nhiệt độ của khay là u₅ = 20.(75%)⁴ ≈ 6,33°C.