Đáp án đúng là: A

Ta có: sin x = 1 \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Xét đồ thị hàm số y = sin x và đường thẳng y = 0,3.

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y = sin x và đường thẳng y = 0,3 cắt nhau tại 4 điểm phân biệt trên khoảng (0; 4π) nên số nghiệm của phương trình sin x = 0,3 trên khoảng (0; 4π) là 4.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\cos x = - \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{{2\pi }}{3}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Xét đồ thị hàm số y = cos x và đường thẳng y = m.

Trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\,\frac{\pi }{2}} \right)\) đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = cos x khi m ∈ (0; 1].

Do đó, giá trị của m để phương trình cos x = m có nghiệm trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\,\frac{\pi }{2}} \right)\) là 0 < m ≤ 1.

Đáp án đúng là: B

Ta có tan x = − 1 \( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Ta có cot x = 0 \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Ta có sin x – cos x = 0 ⇔ sin x = cos x (*)

Vì sin x và cos x không thể đồng thời bằng 0 do sin² x + cos² x = 1 nên (*) tương đương với tan x = 1, tức là \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\sqrt 3 \cos x + 3\sin x = 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 3 \left( {\cos x + \sqrt 3 \sin x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos x + \sqrt 3 \sin x = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}\cos x + \sin \frac{\pi }{3}\sin x = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} - x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\cos 2x = \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x = - \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Ta có sin 3x = cos x

\( \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\3x = \pi - \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\2x = \pi - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Do \(\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) nên \(\sin 3x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \frac{\pi }{3}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Do \(\sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) nên \(\sin \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) \( \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4} = \pi - \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{2} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\\frac{x}{2} = \pi + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \pi + k4\pi \\x = 2\pi + k4\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Sử dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác.

Do A + C = π – B nên sin(A + C) = sin(π – B) = sin B.

Vậy sin B = sin(A + C

).

\(2\cos x + \sqrt 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{{5\pi }}{6}\)         (do \(\cos \frac{{5\pi }}{6} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\))

\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(\sqrt 3 \tan x - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)  

\( \Leftrightarrow \tan x = \tan \frac{\pi }{6}\)    (do \(\tan \frac{\pi }{6} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\))

\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Do \(\cot \frac{\pi }{4} = 1\) nên \(\cot \left( {x + \frac{\pi }{5}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \cot \left( {x + \frac{\pi }{5}} \right) = \cot \frac{\pi }{4}\)

\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{5} = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{20}} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

tan x = tan 25°

⇔ x = 25° + k180° (k ∈ ℤ).

Do \(\sin \left( { - 60^\circ } \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) nên sin(x – 60°) = \( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)⇔ sin(x – 60°) = sin(– 60°)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 60^\circ = - 60^\circ + k360^\circ \\x - 60^\circ = 180^\circ - \left( { - 60^\circ } \right) + k360^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k360^\circ \\x = 300^\circ + k360^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Do \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) nên cos(x + 50°) = \(\frac{1}{2}\)⇔ cos(x + 50°) = cos 60°

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 50^\circ = 60^\circ + k360^\circ \\x + 50^\circ = - 60^\circ + k360^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10^\circ + k360^\circ \\x = - 110^\circ + k360^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

cos 2x = cos (3x + 10°)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 3x + 10^\circ + k360^\circ \\2x = - \left( {3x + 10^\circ } \right) + k360^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 10^\circ + k360^\circ \\x = - 2^\circ + k72^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

cot x = cot (– 32°)

\(\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - \frac{\pi }{4} = x + \frac{\pi }{6} + k2\pi \\3x - \frac{\pi }{4} = \pi - \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - x = \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3x + x = \pi - \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \\4x = \frac{{13\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\pi \\x = \frac{{13\pi }}{{48}} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + x + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{3} = - \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - x = \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x + x = - \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \\3x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\({\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = {\sin ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2} = \frac{{1 - \cos \left( {4x + \pi } \right)}}{2}\) (Sử dụng công thức hạ bậc)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \left( {4x + \pi } \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{2} = 4x + \pi + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{2} = - \left( {4x + \pi } \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 4x = \pi - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\2x + 4x = - \pi - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\6x = - \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{3}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\({\cos ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = {\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos \left( {4x + \pi } \right)}}{2} = \frac{{1 - \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}\)              (sử dụng công thức hạ bậc)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {4x + \pi } \right) = - \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {4x + \pi } \right) = \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3} + \pi } \right)\)          (sử dụng quan hệ hơn kém π)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {4x + \pi } \right) = \cos \left( {2x + \frac{{4\pi }}{3}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x + \pi = 2x + \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \\4x + \pi = - \left( {2x + \frac{{4\pi }}{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x - 2x = \frac{{4\pi }}{3} - \pi + k2\pi \\4x + 2x = - \frac{{4\pi }}{3} - \pi + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\6x = - \frac{{7\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = - \frac{{7\pi }}{{18}} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

cos x + sin x = 0

⇔ cos x = – sin x

⇔ tan x = – 1

sin x – \(\sqrt 3 \)cos x = 0

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 0\)

\( \Leftrightarrow \sin x\cos \frac{\pi }{3} - \cos x\sin \frac{\pi }{3} = 0\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = k\pi \,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình 5sin x – 3 = 0 có 4 nghiệm trên đoạn [– π; 4π].

Ta có \(\sqrt 2 \)cos x + 1 = 0 \( \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Do đó, số nghiệm của phương trình \(\sqrt 2 \)cos x + 1 = 0 trên đoạn (– 4π; 0) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = cos x trên đoạn (– 4π; 0) và đường thẳng \(y = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số y = cos x trên đoạn (– 4π; 0) và đường thẳng \(y = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt.

Vậy phương trình \(\sqrt 2 \)cos x + 1 = 0 có 4 nghiệm trên khoảng (– 4π; 0).

Ta có \(h = m + a\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)\).

Vì \( - 1 \le \cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) \le 1\) với mọi 0 ≤ t ≤ 24 nên \(m - a \le m + a\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) \le m + a\).

Do vậy chiều cao của mực nước cao nhất bằng m + a khi \(\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = 1\) và thấp nhất bằng m – a khi \(\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = - 1\).

Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}m + a = 16\\m - a = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 13\\a = 3\end{array} \right.\).

Vậy m = 13 và a = 3.

Từ câu a) ta có công thức \(h = 13 + 3\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)\).

Do chiều cao của mực nước là 11,5 m nên \(13 + 3\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = 11,5\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = - \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{{12}}t = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\\frac{\pi }{{12}}t = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8 + k24\\t = - 8 + k24\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Mà 0 ≤ t ≤ 24 nên t = 8 và t = 16.

Vậy ứng với hai thời điểm trong ngày là t = 8 (h) và t = 16 (h) thì chiều cao của mực nước là 11,5 m.