Đáp án đúng là: A

Hình hộp có 4 đường chéo.

Đáp án đúng là: B

+ Vì A, C, C', A' đồng phẳng nên A' ∈ (ACC'), mà A' ∈ (A'MN) nên hai mặt phẳng (A'MN) và (ACC') không thể song song. Do đó đáp án A sai.

+ Trong mặt phẳng (BCC'B'), hai đường thẳng C'M và BB' cắt nhau nên C'M không thể song song với mặt phẳng (A'B'B). Do đó đáp án C sai.

+ Trong hình bình hành BCC'B' có M, N lần lượt là trung điểm của BC, B'C' nên ta chứng minh được MN // BB' và MN = BB'.

Mà AA' // BB' và AA' = BB' nên MN // AA' và MN = AA'.

Suy ra AMNA' là hình bình hành, do đó AM // A'N.

Mà A'N ⊂ (A'BN) nên AM // (A'BN). (1)

Ta cũng chứng minh được BMC'N là hình bình hành nên C'M // BN.

Mà BN ⊂ (A'BN) nên C'M // (A'BN). (2)

Từ (1) và (2) suy ra (A'BN) // (AC'M). Vậy đáp án B đúng.

Đáp án đúng là: C

Theo định nghĩa và tính chất của hình hộp, ta có các đáp án A, B, D đúng và đáp án C sai.

Đáp án đúng là: D

Vì M, N lần lượt là trung điểm của A'B', B'C' nên MN là đường trung bình của tam giác A'B'C', suy ra MN // A'C'.

Trong mặt phẳng (ABB'A'), gọi D là giao điểm của AA' và BM.

Vì AA' ⊂ (ACC'A') nên D ∈ (ACC'A'), BM ⊂ (BMN) nên D ∈ (BMN).

Khi đó, hai mặt phẳng (BMN), (ACC'A') có điểm chung là D và lần lượt chứa hai đường thẳng MN và A'C' song song với nhau nên giao tuyến của chúng là đường thẳng d đi qua điểm D và song song với MN, A'C'.

Đáp án đúng là: D

Do AA'B'B và CDD'C là các hình bình hành nên AB // C'D' và AB = C'D' (cùng song song và bằng CD).

Suy ra ABC'D' là hình bình hành. Do đó, AD' // BC'.

Mà BC' ⊂ (BA'C') nên AD' // (BA'C'). (1)

Tương tự, A'BCD' cũng là hình bình hành nên A'B // CD'.

Mà A'B ⊂ (BA'C') nên CD' // (BA'C'). (2)

Từ (1) và (2) suy ra (AD'C) // (BA'C').

Trước hết ta chứng minh một kết quả trong hình học phẳng: Trong hình bình hành, tổng bình phương của hai đường chéo bằng tổng bình phương tất cả các cạnh.

Xét hình bình hành MNPQ:

Áp dụng định lí côsin trong các tam giác MPQ và QPN, ta có:

MP2 = QM2 + QP2 – 2QM . QP . cos$\widehat{MQP}$

QN2 = PQ2 + PN2 – 2PQ . PN . cos$\widehat{QPN}$

Do QM = PN và $\cos \widehat{MQP}=-\cos \widehat{QPN}$ (do hai góc bù nhau) nên ta có:

MP2 + QN2 = 2(QM2 + QP2).

Xét hình hộp ABCD.A'B'C'D':

Áp dụng kết quả trên cho hai hình bình hành AA'C'C và BB'D'D ta được:

AC'2 + A'C2 = 2(AA'2 + A'C'2)

BD'2 + B'D2 = 2(BB'2 + B'D'2)

Suy ra AC'2 + A'C2 + BD'2 + B'D2 = 4AA'2 + 2(A'C'2 + B'D'2)    (do AA' = BB').

Mặt khác, trong hình bình hành A'B'C'D', ta có: A'C'2 + B'D'2 = 2(A'B'2 + A'D'2).

Vậy AC'2 + A'C2 + BD'2 + B'D2 = 4AA'2 + 4A'B'2 + 4A'D'2.

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Bạn Minh làm như vậy là đúng.

Giả sử phần trong bể nước và thước được biểu diễn bởi hình hộp ABCD.A'B'C'D' và đường thẳng MO. Mặt nước được biểu diễn bởi mặt phẳng (IJKL) (như hình vẽ).

Khi đó ba mặt phẳng (ABCD), (A'B'C'D'), (IJKL) đôi một song song, áp dụng định lí Thalès trong không gian ta có:

$\frac{A\text{'}I}{MN}=\frac{IA}{NO}=\frac{AA\text{'}}{OM}\Rightarrow \frac{IA}{AA\text{'}}=\frac{NO}{OM}$.