Đáp án đúng là: B

Ta có: 2^{x – 1} = 8 ⇔ 2^{x – 1} = 2³ ⇔ x – 1 = 3 ⇔ x = 4.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 4.

Đáp án đúng là: C

Ta có: 2^x = 5 ⇔ x = log₂5.

Vậy phương trình có nghiệm là x = log₂5.

Đáp án đúng là: D

Ta có: 9^{2x + 1} = 27^{x – 3}

⇔ 3^{2(2x + 1)} = 3^{3(x – 3)}

⇔ 2(2x + 1) = 3(x – 3)

⇔  x = – 11.

Vậy phương trình có nghiệm là x = –11.

Đáp án đúng là: A

Ta có: log₂(x – 5) = 4 ⇔ x – 5 = 2⁴ ⇔ x – 5 = 16 ⇔ x = 21.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 21.

Đáp án đúng là: B

${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x-1\right)=-2\iff x-1={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}$

⇔ x – 1 = 4 ⇔ x = 5.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 5.

Đáp án đúng là: C

Ta có: 2^x < 5 ⇔ x < log₂5 (do 2 > 1)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (–∞; log₂5).

Đáp án đúng là: A

Do 0 < 0,2 < 1 nên ta có:

log_0,2 (x + 1) > –3

⇔ 0 < x + 1 < 0,2^–3

⇔ 0 < x + 1 < 125

⇔ –1 < x < 124.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (–1; 124).

a) 3^{x – 1} = 5 ⇔ x – 1 = log₃5 ⇔ x = log₃5 + 1.

Vậy phương trình có nghiệm x = log₃5 + 1.

b) $3^{x^2-4x+5}=9\iff 3^{x^2-4x+5}=3^2\iff x^2-4x+5=2$

$\iff x^2-4x+3=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}\right..$

Vậy phương trình có nghiệm x ∈ {1; 3}.

c) $2^{2x+3}=8\sqrt{2}\iff 2^{2x+3}=2^3{.2}^{\frac{1}{2}}\iff 2^{2x+3}=2^{\frac{7}{2}}$

$\iff 2x+3=\frac{7}{2}\iff x=\frac{1}{4}.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{1}{4}.$

d) 8^{x – 2} = 4^{1 – 2x} ⇔ 2^{3(x – 2)}  = 2^{2(1 – 2x)}

⇔ 3(x – 2) = 2(1 – 2x) ⇔ 7x = 8

$\iff x=\frac{8}{7}.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{8}{7}.$

e) $2^{x^2-3x-2}=0,25\cdot {16}^{x-3}$

$\iff 2^{x^2-3x-2}=2^{-2}{.2}^{4\left(x-3\right)}$

$\iff 2^{x^2-3x-2}=2^{-2+4\left(x-3\right)}$

$\iff 2^{x^2-3x-2}=2^{4x-14}$

$\iff x^2-3x-2=4x-14$

$\iff x^2-7x+12=0\iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=4\end{array}\right..$

Vậy phương trình có nghiệm x ∈ {3; 4}.

g) $2^{x^2-4x+4}=3\iff x^2-4x+4={\log }_{2}3$

$\iff {\left(x-2\right)}^2={\log }_{2}3$

$\iff \left[\begin{array}{l}x-2=\sqrt{lo{g}_{2}3}\\ x-2=-\sqrt{lo{g}_{2}3}\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=2+\sqrt{lo{g}_{2}3}\\ x=2-\sqrt{lo{g}_{2}3}\end{array}\right..$

Vậy phương trình có nghiệm  $x\in \left\{2+\sqrt{lo{g}_{2}3};2-\sqrt{lo{g}_{2}3}\right\}.$

a) log₄ (x – 4) = –2 ⇔ x – 4 = 4^–2

^{$\iff x-4=\frac{1}{16}\iff x=\frac{65}{16}.$}

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{65}{16}.$

b) log₃ (x² + 2x) = 1 ⇔ x² + 2x = 3¹

$\iff x^2+2x-3=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-3\\ x=1\end{array}\right..$

Vậy phương trình có nghiệm x ∈ {– 3; 1}.

c) ${\log }_{25}\left(x^2-4\right)=\frac{1}{2}\iff x^2-4={25}^{\frac{1}{2}}$

$\iff x^2-4=5\iff x^2=9\iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=-3\end{array}\right..$

Vậy phương trình có nghiệm x ∈ {– 3; 3}.

d) ${\log }_9\left[{\left(2x-1\right)}^2\right]=2\iff {\left(2x-1\right)}^2=9^2$

$\iff 4x^2-4x-80=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-4\\ x=5\end{array}\right..$

Vậy phương trình có nghiệm x ∈ {– 4; 5}.

e) Ta có: $\log \left(x^2-2x\right)=\log \left(2x-3\right)$

 $\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2-2x=2x-3\\ 2x-3>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2-4x+3=0\\ x>\frac{3}{2}\end{array}\right.$

 $\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}\right.\\ x>\frac{3}{2}\end{array}\right.\iff x=3.$

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

g) ${\log }_2\left(x^2\right)+{\log }_{\frac{1}{2}}\left(2x+8\right)=0.$

$\iff {\log }_2\left(x^2\right)+{\log }_{2^{-1}}\left(2x+8\right)=0$

⇔ log₂ (x²) – log₂ (2x + 8) = 0

⇔ log₂ (x²) = log₂ (2x + 8)

 $\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2=2x+8\\ 2x+8>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2-2x-8=0\\ x>-4\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x=-2\\ x=4\end{array}\right.\\ x>-4\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-2\\ x=4\end{array}\right.$

Vậy phương trình có nghiệm x ∈ {– 2; 4}.

a) ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(2x-6\right)<-3\iff 2x-6>{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}$  (do $0<\frac{1}{2}<1)$

                              ⇔ 2x – 6 > 8 ⇔ x > 7.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (7; +∞).

b) log₃ (x² – 2x + 2) > 0

⇔ x² – 2x + 2 > 3⁰ ⇔ x² – 2x + 2 > 1

⇔ x² – 2x + 1 > 0 ⇔ (x – 1)² > 0 ⇔ x ≠ 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ℝ \ {1}.

c) ${\log }_4\left(2x^2+3x\right)\ge \frac{1}{2}\iff 2x^2+3x\ge 4^{\frac{1}{2}}$

$\iff 2x^2+3x-2\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}x\le -2\\ x\ge \frac{1}{2}\end{array}\right..$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left(-\infty ;-2\right]\cup \left[\frac{1}{2};+\infty \right).$

d) log_0,5 (x – 1) ≥ log_0,5 (5 – 2x)

⇔ 0 < x – 1 ≤ 5 – 2x (Vì 0 < 0,5 < 1)

$\iff \left\{\begin{array}{l}x-1>0\\ x-1\le 5-2x\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>1\\ 3x\le 6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>1\\ x\le 2\end{array}\right.\iff 1<x\le 2$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (1 ; 2].

e) log(x² + 1) ≤ log(x + 3)

⇔ 0 < x² + 1 ≤ x + 3

⇔ x² – x – 2 ≤ 0 (do x² + 1 > 0 với mọi x)

⇔ –1 ≤ x ≤ 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [–1; 2].

g) ${\log }_{\frac{1}{5}}\left(x^2-6x+8\right)+{\log }_5\left(x-4\right)>0$

$\iff {\log }_{5^{-1}}\left(x^2-6x+8\right)+{\log }_5\left(x-4\right)>0$

⇔ – log₅ (x² – 6x + 8) + log₅ (x – 4) > 0

⇔ log₅ (x² – 6x + 8) < log₅ (x – 4)

⇔ 0 < x² – 6x + 8 < x – 4

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2–6x+8>0\\ x^2–6x+8<x-4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x>4\\ x<2\end{array}\right.\\ x^2-7x+12<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x>4\\ x<2\end{array}\right.\\ 3<x<4\end{array}\right.\iff x\in \varnothing .$

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

Đổi 13 giờ = 780 phút.

Gọi T (phút) là thời gian để vi khuẩn Bacillus subtilis tự nhân đôi một lần.

Gọi M₀ là số tế bào/1 ml dịch nuôi của vi khuẩn Bacillus subtilis tại thời điểm ban đầu (t = 0). Theo bài ra ta có: M₀ = 2.10².

Gọi M_t là số tế bào/1 ml dịch nuôi của vi khuẩn Bacillus subtilis tại thời điểm t.

Sau 13 giờ, số tế bào/1 ml dịch nuôi là 3,33.10⁹ nên ta có: M₇₈₀ = 3,33 . 10⁹.

Do vi khuẩn Bacillus subtilis sinh trưởng trong điều kiện tối ưu và sinh sản theo hình thức tự nhân đôi nên ta có:

Suy ra: $M_{780}=M_0{.2}^{\frac{780}{T}}\Rightarrow 3,{33.10}^9={2.10}^2{.2}^{\frac{780}{T}}$

$\Rightarrow 2^{\frac{780}{T}}=1,{665.10}^7.$

$\Rightarrow \frac{780}{T}={\log }_2(1,{665.10}^7)\Rightarrow T\approx 33.$

Vậy sau gần 33 phút vi khuẩn Bacillus subtilis tự nhân đôi một lần.

Ta có: S = 93logd + 65, trong đó d (dặm) là quãng đường cơn lốc xoáy đó di chuyển được.

Với S = 140 (dặm/giờ) suy ra: 93logd + 65 = 140

 $\Rightarrow \log d=\frac{75}{93}\Rightarrow d={10}^{\frac{75}{93}}\approx 6,4$  (dặm).

Vậy khi tốc độ của gió ở gần tâm bằng 140 dặm/giờ thì cơn lốc xoáy di chuyển được quãng đường gần bằng 6,4 dặm.

Vì mức cường độ âm trong một nhà máy phải giữ sao cho không vượt quá 85 dB nên ta có: $L\le 85\iff 10\log \frac{I}{{10}^{-12}}\le 85$

$\iff \log \frac{I}{{10}^{-12}}\le 8,5\iff \log I-\log {10}^{-12}<8,5$

$\iff \log I+12\le 8,5\iff \log I\le -3,5\iff I\le {10}^{-3,5}$

Vậy cường độ âm của nhà máy đó không vượt quá 10^–3,5 (W/m²).