16 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Giải SBT Toán 11 Cánh Diều Bài 1: Phép lũy thừa với số mũ thực

Đáp án đúng là: B

Từ định nghĩa phép tính lũy thừa với số mũ nguyên: Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0, ta có: $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .$

Ta thấy n = 7 ∈ ℕ* nên điều kiện xác định của $x^{- 7} = \frac{1}{x^{7}}$ là x ≠ 0.

Câu 2:

22/07/2024

Điều kiện xác định của $\sqrt[5]{x^{3}}$ là:

A. x ∈ ℝ;

B. x ≠ 0;

C. x ≥ 0;

D. x > 0.

Đáp án đúng là: A

Ta thấy n = 5 là số lẻ nên điều kiện xác định của $\sqrt[5]{x^{3}}$ là x³ ∈ ℝ hay x ∈ ℝ.

Câu 3:

14/07/2024

Điều kiện xác định của $\sqrt[8]{x^{3}}$ là:

A. x ∈ ℝ;

B. x ≠ 0;

C. x ≥ 0;

D. x > 0.

Đáp án đúng là: C

Ta thấy n = 8 là số chẵn nên điều kiện xác định của $\sqrt[8]{x^{3}}$ là x³ ≥ 0 hay x ≥ 0.

Câu 4:

Điều kiện xác định của $x^{\sqrt{2}}$ là:

A. x ∈ ℝ;

B. x ≠ 0;

C. x ≥ 0;

D. x > 0.

Đáp án đúng là: D

Ta thấy: $\sqrt{2}$ là số vô tỉ nên điều kiện xác định của $x^{\sqrt{2}}$ là: x > 0.

Câu 5:

Giá trị của biểu thức $P = 2^{1 - \sqrt{2}} \cdot 2^{3 + \sqrt{2}} \cdot 4^{\frac{1}{2}}$ bằng:

A. 128;

B. 64;

C. 16;

D. 32.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $P = 2^{1 - \sqrt{2}} {.2}^{3 + \sqrt{2}} {.4}^{\frac{1}{2}} = 2^{1 - \sqrt{2} + 3 + \sqrt{2}} . {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

$= 2^{4} {.2}^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2^{4} {.2}^{1} = 2^{4 + 1} = 2^{5} = 32.$

Câu 6:

08/07/2024

Nếu a > 1 thì:

A. $a^{- \sqrt{3}} > \frac{1}{a^{\sqrt{5}}};$

B. $a^{- \sqrt{3}} < \frac{1}{a^{\sqrt{5}}};$

C. $a^{- \sqrt{3}} \leq \frac{1}{a^{\sqrt{5}}};$

D. $a^{- \sqrt{3}} = \frac{1}{a^{\sqrt{5}}} .$

Đáp án đúng là: A

Do $\sqrt{3} < \sqrt{5}$ và với a > 1 nên $a^{\sqrt{3}} < a^{\sqrt{5}}$ hay $\frac{1}{a^{\sqrt{3}}} > \frac{1}{a^{\sqrt{5}}} .$

Mà $\frac{1}{a^{\sqrt{3}}} = a^{- \sqrt{3}}$ nên $a^{- \sqrt{3}} > \frac{1}{a^{\sqrt{5}}} .$

Câu 7:

20/07/2024

Nếu ${(2 - \sqrt{3})}^{a - 1} < 2 + \sqrt{3}$ thì:

A. a > 0;

B. a > 1;

C. a < 1;

D. a < 0.

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${(2 - \sqrt{3})}^{a - 1} < 2 + \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{{(2 - \sqrt{3})}^{a}}{2 - \sqrt{3}} < 2 + \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow {(2 - \sqrt{3})}^{a} < (2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ (do $2 - \sqrt{3} > 0)$

$\Leftrightarrow {(2 - \sqrt{3})}^{a} < 1$ $\Leftrightarrow {(2 - \sqrt{3})}^{a} < {(2 - \sqrt{3})}^{0}$

$\Leftrightarrow a > 0$ (do $0 < 2 - \sqrt{3} < 1)$ )

Câu 8:

Nếu $a^{\sqrt{3}} < a^{\sqrt{2}}$ thì:

A. a > 1;

B. a < 1;

C. 0 < a < 1;

D. a > 0.

Đáp án đúng là: C

Vì $a^{\sqrt{3}} < a^{\sqrt{2}}$ và $\sqrt{3} > \sqrt{2}$ suy ra 0 < a < 1.

Vậy nếu $a^{\sqrt{3}} < a^{\sqrt{2}}$ thì 0 < a < 1.

Câu 9:

11/07/2024

Biểu thức $P = \sqrt[3]{x^{2} \sqrt{x^{3}}}$ với x > 0 được rút gọn bằng:

A. $x^{\frac{5}{3}};$

B. $x^{\frac{7}{6}};$

C. $x^{\frac{1}{3}};$

D. $x^{\frac{5}{6}} .$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $P = \sqrt[3]{x^{2} \sqrt{x^{3}}} = {(x^{2} . x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{3}}$ $= {(x^{2 + \frac{3}{2}})}^{\frac{1}{3}} = {(x^{\frac{7}{2}})}^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{7}{2} . \frac{1}{3}} = x^{\frac{7}{6}} .$

Câu 10:

21/07/2024

Biểu thức $Q = a^{\sqrt{3}} . {(\frac{1}{a})}^{\sqrt{3} - 1}$ với a > 0 được rút gọn bằng:

A. $\frac{1}{a};$

B. a³;

C. a;

D. 1.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $Q = a^{\sqrt{3}} . {(\frac{1}{a})}^{\sqrt{3} - 1} = a^{\sqrt{3}} . {(a^{- 1})}^{\sqrt{3} - 1}$ $= a^{\sqrt{3}} . a^{(- 1) . (\sqrt{3} - 1)} = a^{\sqrt{3}} . a^{1 - \sqrt{3}} = a^{\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3}} = a .$

Câu 11:

Viết các biểu thức sau về lũy thừa cơ số a, biết:

a) $A = \sqrt[7]{3. \sqrt[5]{\frac{1}{3}}}$ với a = 3;

b) $B = \frac{25 \sqrt[3]{5}}{\sqrt{125}}$ với $a = \sqrt{5} .$

Không sử dụng máy tính cầm tay, so sánh hai số a và b, biết:
a)

a) $A = \sqrt[7]{3. \sqrt[5]{\frac{1}{3}}} = \sqrt[7]{3. \sqrt[5]{3^{- 1}}} = \sqrt[7]{{3.3}^{- \frac{1}{5}}}$ $= \sqrt[7]{3^{1 - \frac{1}{5}}} = \sqrt[7]{3^{\frac{4}{5}}} = 3^{\frac{4}{5} : 7} = 3^{\frac{4}{5} . \frac{1}{7}} = 3^{\frac{4}{35}} .$

Viết biểu thức A về lũy thừa cơ số a = 3 ta được $A = a^{\frac{4}{35}} .$

b) $B = \frac{25 \sqrt[3]{5}}{\sqrt{125}} = \frac{5^{2} \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{5^{3}}} = \frac{5^{2 + \frac{1}{3}}}{5^{\frac{3}{2}}} = \frac{5^{\frac{7}{3}}}{5^{\frac{3}{2}}}$

$= 5^{\frac{7}{3} - \frac{3}{2}} = 5^{\frac{5}{6}} = {[{(\sqrt{5})}^{2}]}^{\frac{5}{6}} = {(\sqrt{5})}^{2. \frac{5}{6}} = {(\sqrt{5})}^{\frac{5}{3}} .$

Viết biểu thức B về lũy thừa cơ số $a = \sqrt{5}$ ta được $B = a^{\frac{5}{3}} .$

Câu 12:

22/07/2024

a = {(\sqrt{3} - 1)}^{\sqrt{2}}

b = {(\sqrt{3} - 1)}^{\sqrt{3}};

a = {(\sqrt{2} - 1)}^{π}

b = {(\sqrt{2} + 1)}^{e};

a = \frac{1}{3^{400}}

b = \frac{1}{4^{300}};

a = \frac{8}{\sqrt[4]{27}}

b = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{\frac{3}{4}} .

Xác định các giá trị của số thực a thỏa mãn:
a)

a) Do $0 < \sqrt{3} - 1 < 1$ và $\sqrt{2} < \sqrt{3}$ nên ${(\sqrt{3} - 1)}^{\sqrt{2}} > {(\sqrt{3} - 1)}^{\sqrt{3}} .$

Suy ra: a > b.

b) Ta có: $a = {(\sqrt{2} - 1)}^{π} = {[\frac{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{2} + 1}]}^{π}$

$= {(\frac{2 - 1}{\sqrt{2} + 1})}^{π} = {(\frac{1}{\sqrt{2} + 1})}^{π} = {(\sqrt{2} + 1)}^{- π} .$

Do $\sqrt{2} + 1 > 1$ và –π < e nên ta có: ${(\sqrt{2} + 1)}^{- π} < {(\sqrt{2} + 1)}^{e} \Leftrightarrow {(\sqrt{2} - 1)}^{π} < {(\sqrt{2} + 1)}^{e} .$

Suy ra: a < b.

c) Ta có: $a = \frac{1}{3^{400}} = {(\frac{1}{3^{4}})}^{100} = {(\frac{1}{81})}^{100}$ và $b = \frac{1}{4^{300}} = {(\frac{1}{4^{3}})}^{100} = {(\frac{1}{64})}^{100} .$

Do 100 > 0 và $\frac{1}{81} < \frac{1}{64}$ nên ${(\frac{1}{81})}^{100} < {(\frac{1}{64})}^{100} \Leftrightarrow \frac{1}{3^{400}} < \frac{1}{4^{300}} .$

Suy ra: a < b.

d) Ta có: $a = \frac{8}{\sqrt[4]{27}} = \frac{2^{3}}{\sqrt[4]{3^{3}}} = \frac{{(\sqrt[4]{16})}^{3}}{\sqrt[4]{3^{3}}}$ $= \frac{\sqrt[4]{16^{3}}}{\sqrt[4]{3^{3}}} = \frac{16^{\frac{3}{4}}}{3^{\frac{3}{4}}} = {(\frac{16}{3})}^{\frac{3}{4}} .$

Do $\frac{16}{3} > \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$ và $\frac{3}{4} > 0$ nên ${(\frac{16}{3})}^{\frac{3}{4}} > {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{\frac{3}{4}} \Leftrightarrow \frac{8}{\sqrt[4]{27}} > {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{\frac{3}{4}} .$

Suy ra: a > b.

Câu 13:

21/07/2024

a^{\frac{1}{2}} > a^{\sqrt{3}};

a^{- \frac{3}{2}} < a^{\frac{2}{3}};

{(\sqrt{2})}^{a} > {(\sqrt{3})}^{a} .

Cho a > 0, b > 0. Rút gọn mỗi biểu thức sau:
a)

a) Do

\frac{1}{2} < \sqrt{3}

nên

a^{\frac{1}{2}} > a^{\sqrt{3}} \Leftrightarrow 0 < a < 1.

b) Do

- \frac{3}{2} < \frac{2}{3}

nên

a^{- \frac{3}{2}} < a^{\frac{2}{3}} \Leftrightarrow a > 1.

c) Do

0 < \sqrt{2} < \sqrt{3}

nên

{(\sqrt{2})}^{a} > {(\sqrt{3})}^{a} \Leftrightarrow a < 0.

Câu 14:

18/07/2024

A = \frac{{(\sqrt[4]{a^{3} b^{2}})}^{4}}{\sqrt[3]{\sqrt{a^{12} b^{6}}}};

B = \frac{a^{\frac{1}{3}} \sqrt{b} + b^{\frac{1}{3}} \sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} .

A = \frac{{(\sqrt[4]{a^{3} b^{2}})}^{4}}{\sqrt[3]{\sqrt{a^{12} b^{6}}}} = \frac{{[{(a^{3} b^{2})}^{\frac{1}{4}}]}^{4}}{\sqrt[3]{{(a^{12} b^{6})}^{\frac{1}{2}}}} = \frac{{(a^{3} b^{2})}^{\frac{1}{4} .4}}{\sqrt[3]{a^{6} b^{3}}}

= \frac{a^{3} b^{2}}{{(a^{6} b^{3})}^{\frac{1}{3}}} = \frac{a^{3} b^{2}}{a^{6 \cdot \frac{1}{3}} b^{3 \cdot \frac{1}{3}}} = \frac{a^{3} b^{2}}{a^{2} b^{1}} = a b .

B = \frac{a^{\frac{1}{3}} \sqrt{b} + b^{\frac{1}{3}} \sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} = \frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{3}} a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}}

= \frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} (b^{\frac{1}{6}} + a^{\frac{1}{6}})}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}} = a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a b} .

Câu 15:

Cho x, y là các số thực dương và số thực a thỏa mãn: $a = \sqrt{x^{2} + \sqrt[3]{x^{4} y^{2}}} + \sqrt{y^{2} + \sqrt[3]{x^{2} y^{4}}} .$ Chứng minh rằng: $a^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} .$

Với x, y > 0 ta có:

a = \sqrt{x^{2} + \sqrt[3]{x^{4} y^{2}}} + \sqrt{y^{2} + \sqrt[3]{x^{2} y^{4}}}

= \sqrt{x^{2} + {(x^{4} y^{2})}^{\frac{1}{3}}} + \sqrt{y^{2} + {(x^{2} y^{4})}^{\frac{1}{3}}}

= \sqrt{x^{2} + x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{2}{3}}} + \sqrt{y^{2} + x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{4}{3}}}

= {(x^{\frac{6}{3}} + x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}} + {(y^{\frac{6}{3}} + x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{4}{3}})}^{\frac{1}{2}}

= {(x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}} + {(y^{\frac{2}{3}} y^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{4}{3}})}^{\frac{1}{2}}

= {[x^{\frac{4}{3}} . (x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}})]}^{\frac{1}{2}} + {[y^{\frac{4}{3}} . (y^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{2}{3}})]}^{\frac{1}{2}}

= x^{\frac{4}{3} . \frac{1}{2}} . {(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{4}{3} . \frac{1}{2}} . {(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}

= x^{\frac{2}{3}} . {(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{2}{3}} . {(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}

= {(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}} . (x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}})

= {(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2} + 1} = {(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} .

Suy ra:

a^{\frac{2}{3}} = {[{(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}]}^{\frac{2}{3}} = {(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2} . \frac{2}{3}} = x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} .

Câu 16:

23/07/2024

Một chất phóng xạ có chu kì bán rã là 25 năm, tức là cứ sau 25 năm, khối lượng của chất phóng xạ đó giảm đi một nửa. Giả sử lúc đầu có 10 g chất phóng xạ đó. Viết công thức tính khối lượng của chất đó còn lại sau t năm và tính khối lượng của chất đó còn lại sau 120 năm (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn theo đơn vị gam).