a)

Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Hình 6.14: Tọa độ đỉnh là (3; 4)

Hình 6.15: Tọa độ đỉnh là (1; –4)

b)

Hình 6.14:

Đồ thị đi lên từ trái sang phải trong khoảng (– ∞; 3), do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; 3)

Đồ thị đi xuống từ trái sang phải trong khoảng (3; +∞), do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng (3; +∞).

Hình 6.15:

Đồ thị đi lên từ trái sang phải trong khoảng (1; +∞), do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞)

Đồ thị đi xuống từ trái sang phải trong khoảng (–∞; 1), do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng (–∞; 1).

c)

Hình 6.14: Hàm số không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số là tung độ của đỉnh là: 4. Vậy hàm số có đồ thị như Hình 6.14 có giá trị lớn nhất là 4 tại x = 3.

Hình 6.15: Hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là tung độ của đỉnh là: –4. Vậy hàm số có đồ thị như Hình 6.15 có giá trị nhỏ nhất là –4 tại x = 1.

d)

Hình 6.14:

Tập xác định: D = ℝ

Tập giá trị: T = (–∞; 4].

Hình 6.15:

Tập xác định: D = ℝ

Tập giá trị: T = [–4; +∞).

a)

* Xét hàm số: y = f(x) = –x² – x + 1 = –(x² + x – 1)

= $-\left(x^2+2.\frac{1}{2}.x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-1\right)=-\left(x^2+2.\frac{1}{2}.x+\frac{1}{4}-\frac{5}{4}\right)=-{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{5}{4}$

Với a = –1, h = $\frac{-1}{2}$, k = $\frac{5}{4}$.

* Xét hàm số: y = g(x) = x² – 8x + 8 = (x² – 2.4.x + 16) – 16 + 8 = (x – 4)² – 8

Với a = 1, h = 4, k = –8.

c)

- Xét hàm số: y = f(x) = –x² – x + 1

Ta có a = –1 < 0 nên parabol quay bề lõm xuống dưới.

Đỉnh $I\left(-\frac{1}{2};\frac{5}{4}\right)$.

Trục đối xứng $x=-\frac{1}{2}$.

Giao điểm với Oy là (0; 1).

Điểm đối xứng với điểm (0; 1) qua trục đối xứng $x=-\frac{1}{2}$là (–1; 1).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số y = f(x) như hình dưới.

- Xét hàm số: y = g(x) = x² – 8x + 8

Ta có a = 1 > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên.

Đỉnh I(4; – 8).

Trục đối xứng x = 4.

Giao điểm với Oy là (0; 8).

Điểm đối xứng với điểm (0; 8) qua trục đối xứng x = 4 là (8; 8).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được đồ thị hàm số y = g(x) như hình dưới.

a)

Xét hàm số f(x) = –x² + 4x – 3 có tập xác định D = ℝ

Ta có:

f(x) = –x² + 4x – 3 = –(x² – 4x + 3) = –(x² – 2.2.x + 4 – 4 + 3) = –(x – 2)² + 1

Mà:

(x – 2)² ≥ 0

⇔ –(x – 2)² ≤ 0

⇔ –(x – 2)² + 1 ≤ 1

⇔ f(x) ≤ 1

Vậy tập giá trị của f(x) = –x² + 4x – 3 là: T = (–∞; 1].

a)

Do parabol y = ax² + bx + 2 đi qua M(1; 5) nên ta có:

a.1² + b.1 + 2 = 5 ⇔ a + b = 3 (1)

Do parabol y = ax² + bx + 2 đi qua N(–2; 8) nên ta có:

a.(–2)² + b.(–2) + 2 = 8 ⇔ 4a – 2b = 6 (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\left\{\begin{array}{l}a+b=3\\ 4a-2b=6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a+b=3\\ 2a-b=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\end{array}\right.$

Vậy parabol cần tìm là: y = 2x² + x + 2.

b)

Do parabol y = ax² + bx + 2 đi qua A(3; –4) nên ta có:

a.3² + b.3 + 2 = –4 ⇔ 9a + 3b = –6 (3)

Do parabol y = ax² + bx + 2 có trục đối xứng $x=-\frac{3}{2}$nên ta có:

$\frac{-b}{2a}=-\frac{3}{2}$⇔ –2b = –6a ⇔ 6a – 2b = 0 (4)

Từ (3) và (4) ta có: $\left\{\begin{array}{l}9a+3b=-6\\ 6a-2b=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3a+b=-2\\ 3a-b=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{3}\\ b=-1\end{array}\right.$

Vậy parabol cần tìm là: y = $-\frac{1}{3}{x}^2-x+2$.

c)

Do parabol y = ax² + bx + 2 có đỉnh I(2; –2) nên ta có:

$\frac{-b}{2a}=2$⇔ –b = 4a ⇔ 4a + b = 0 (5)

Và a.2² + b.2 + 2 = –2 ⇔ 4a + 2b = –4 (6)

Từ (5) và (6) ta có: $\left\{\begin{array}{l}4a+b=0\\ 4a+2b=-4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-4\end{array}\right.$

Vậy parabol cần tìm là: y = x² – 4x + 2.

Gọi phương trình của parabol là: y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

+ Parabol có đỉnh I(–1; 2) nên ta có:

$\frac{-b}{2a}=-1$⇔ –b = –2a ⇔ 2a – b = 0 (1)

Và a.(–1)² + b.(–1) + c = 2 ⇔ a – b + c = 2 (2)

+ Parabol đi qua điểm A(1; 6) nên ta có:

a.1² + b.1 + c = 6 ⇔ a + b + c = 6 (3)

Lấy (3) trừ vế theo vế với (2) ta được: 2b = 4 ⇔ b = 2.

Thay b = 2 vào (1) ta có: 2a – 2 = 0 ⇔ a = 1 (t/m).

Thay a = 1 và b = 2 vào (2) ta có: 1 – 2 + c = 2 ⇔ c = 3.

Vậy phương trình của parabol cần tìm là: y = x² + 2x + 3.

Từ đồ thị của hàm số ta thấy:

+ Đồ thị quay bề lõm quay lên trên nên a > 0.

+ Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên ta có: a.0² + b.0 + c > 0 ⇔ c > 0.

+ Hoành độ đỉnh $x=-\frac{b}{2a}$có giá trị dương nên a và b trái dấu. Vì a > 0 nên b < 0.

+ Mặt khác, vì đồ thị hàm số cắt trục hoành Ox tại hai điểm phân biệt, tức là phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt nên ∆ = b² – 4ac > 0.

Vậy a > 0, b < 0, c > 0 và ∆ = b² – 4ac > 0.

a)

Chiều dài dây thép 200 m chính là chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật. Nửa chu vi của mảnh vườn là: 100 m

Gọi chiều rộng của mảnh vườn là x (m) thì chiều dài là: 100 – x (m)

Diện tích của mảnh vườn là: S(x) = (100 – x).x = –x² + 100x  (m²).

b)

Do công thức tính diện tích S(x) là một hàm số bậc hai có a = –1 < 0 nên đồ thị của hàm S(x) là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới, do đó, giá trị lớn nhất của S(x) là tung độ đỉnh của parabol có phương trình: y = S(x) = –x² + 100x.

Hoành độ đỉnh của parabol là: $-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2.(-1)}=50$.

Tung độ đỉnh của parabol là: –50² + 100.50 = 2 500.

Vậy diện tích lớn nhất có thể của mảnh vườn là 2500 m²  khi chiều rộng là 50 m và chiều dài là: 100 – 50 = 50 (m), tức là khi mảnh vườn có dạng hình vuông có độ dài cạnh là 50 m.

a)

Công thức tính độ cao của quả bóng so với mặt đất (tính bằng mét) có thể mô tả bởi phương trình h(t) = –4,9t² + 14,7t là một hàm số bậc hai có a = –4,9 < 0 nên có đồ thị là một parabol có bề lõm hướng xuống, do đó, quả bóng đạt độ cao lớn nhất là tung độ của đỉnh parabol tại thời gian ứng với hoành độ đỉnh của parabol là: $t_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-\mathrm{14,7}}{2.(-\mathrm{4,9})}=\mathrm{1,5}$(giây)

Vậy sau khi ném 1,5 giây thì quả bóng đạt độ cao lớn nhất.

b)

Dựa vào phần a ta có: h(1,5) = –4,9 . (1,5)² + 14,7 . 1,5 = 11,025.

Độ cao lớn nhất của quả bóng là 11,025 m.

c)

Quả bóng chạm đất tức là h(t) = 0

⇔ –4,9t² + 14,7t = 0

⇔ t = 0 (loại) hoặc t = 3 (thỏa mãn).

Vậy sau khi ném 3 giây thì quả bóng chạm đất.

a)

Theo giả thiết điểm ném ở độ cao 1,5 m so với mặt đất nên n = 1,5.

Công thức tính độ cao của quả bóng so với mặt đất (tính bằng mét) có thể mô tả bởi phương trình y = –4,9t² + mt + 1,5 là một hàm số bậc hai có a = –4,9 < 0 có đồ thị là một parabol có bề lõm hướng xuống, do đó, quả bóng đạt độ cao lớn nhất là tung độ của đỉnh parabol tại thời gian ứng với hoành độ đỉnh của parabol là:

$t_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-m}{2.(-\mathrm{4,9})}=\mathrm{1,2}$(giây) ⇔ m = 11,76

Vậy phương trình chuyển động của hòn đá là: y = –4,9t² + 11,76t + 1,5.

b)

Khi t = 2 ta có y = –4,9. 2² + 11,76. 2 + 15 = 5,42.

Vậy sau 2 giây, hòn đá có độ cao là 5,42 m.

c)

Hòn đá rơi xuống mặt đất tức là y = 0. Xét phương trình

–4,9t² + 11,76t + 15 = 0 ⇔ t ≈ 2,52 hoặc t ≈ –0,12 (loại).

Vậy sau khoảng 2,52 giây kể từ khi ném thì hòn đá rơi xuống mặt đất.

a) Giá vé là x nghìn đồng.

Khi giá vé là x (nghìn đồng) thì số tiền giảm giá mỗi vé so với mức giá cũ là 40 – x (nghìn đồng). Do nếu giá vé cứ giảm 10 000 đồng thì sẽ có thêm 100 người đến rạp mỗi ngày nên số người tăng lên sau khi giảm giá vé là: $\frac{100\left(40-x\right)}{10}=10\left(40-x\right)$.

Ban đầu chưa giảm giá vé thì số người đến rạp mỗi ngày là 300 người. Số người đến rạp chiếu phim mỗi ngày sau khi giảm giá là:

300 + 10(40 – x) = 700 – 10x.

Công thức của hàm số R(x) mô tả doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày khi giá vé là x (nghìn đồng) là:

R(x) = x.(700 – 10x) = –10x2 + 700x (nghìn đồng).

b) Công thức của hàm số R(x) mô tả doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày khi giá vé là x (nghìn đồng) là: R(x) = –10x² + 700x là một hàm số bậc hai có a = –10 < 0 nên có đồ thị là parabol có bề lõm hướng xuống, do đó giá trị lớn nhất của hàm số là tung độ của đỉnh parabol. Vậy mức giá vé để doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày của rạp là lớn nhất là hoành độ của đỉnh parabol là: $-\frac{b}{2a}=-\frac{700}{2.(-10)}=35$(nghìn đồng).

Khi đó, R(35) = –10 . 35² + 700 . 35 = 12 250 (nghìn đồng).

Vậy khi giá bán mỗi vé là 35 000 đồng thì doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày của rạp là lớn nhất là 12 250 000 đồng.